Gruppe Erzeugendensystem

25.10.2014, 11:18	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe Erzeugendensystem Es sei H echte Untergruppe in G d.h. H < G. Zeigen Sie, dass G = <G\H> Meiner Ansicht nach muss ich zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray} g, h \in \end{eqnarray}$ G\H mit $\begin{eqnarray} gh \in G \end{eqnarray}$ beliebig. So sollte ich alle $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ erreichen können. Ist das so korrekt?
25.10.2014, 11:51	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm dir mal ein $\begin{eqnarray} g \in G \setminus H \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} h \in H \end{eqnarray}$ . Überleg dir anschließend, ob $\begin{eqnarray} g^{-1} \in G \setminus H \end{eqnarray}$ und, ob $\begin{eqnarray} gh \in G \setminus H \end{eqnarray}$ . Ist dann nicht $\begin{eqnarray} h \in \langle G \setminus H \rangle \end{eqnarray}$ ? LG
25.10.2014, 14:11	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} g^{-1} \end{eqnarray}$ muss in $\begin{eqnarray} G\setminus H \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} g \in G\setminus H \end{eqnarray}$ liegt. $\begin{eqnarray} gh \in G \end{eqnarray}$ ist zu 100% sicher, da H eine Teilmenge von G ist. Es könnte doch aber auch sein dass man in H landet oder sehe ich das falsch? Wie ich nun $\begin{eqnarray} h \in <G\setminus H> \end{eqnarray}$ folgern kann ist mir unschlüssig.
25.10.2014, 14:19	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Das 1. ist richtig. Angenommen, $\begin{eqnarray} gh \in H \end{eqnarray}$ . Das heißt $\begin{eqnarray} \exists \, h' \in H :gh=h' \end{eqnarray}$ . Nutz die Gruppenaxiome aus, um ein Widerspruch zu erlangen. Setze dann die beiden Aussagen zusammen (also: Nutze die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray} \langle G \setminus H \rangle \end{eqnarray}$ ) LG
25.10.2014, 15:50	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen $\begin{eqnarray} \exists h' \in H : gh = h' => g = h'h^{-1} \end{eqnarray}$ Dies kann nicht sein da $\begin{eqnarray} g \in G\setminus H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h, h' \in H \end{eqnarray}$ somit wäre H nicht abgeschlossen, aber H ist nach Voraussetzung eine Untergruppe. So das ist alles was ich bisher weiß $\begin{eqnarray} g, g^{-1} \in G\setminus H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} gh \in G\setminus H \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h \in H \end{eqnarray}$ Leider weiß ich nun nicht wie mir das helfen soll zu zeigen, dass wenn ich endlich viele Elemente aus $\begin{eqnarray} G\setminus H \end{eqnarray}$ verknüpfe ich ganz $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ damit abdecken kann
25.10.2014, 17:17	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} G\setminus H \subseteq \langle G \setminus H \rangle \le G \end{eqnarray}$ . Wenn du zeigen kannst, dass $\begin{eqnarray} H \le \langle G \setminus H \rangle \end{eqnarray}$ , gilt $\begin{eqnarray} \langle G \setminus H \rangle = \langle \langle G \setminus H \rangle \cup H \rangle=\langle (G \setminus H) \cup H \rangle =G \end{eqnarray}$ Du weißt jedoch, dass $\begin{eqnarray} g^{-1} \in G \setminus H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} gh \in G \setminus H \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} h \in H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray} \langle G \setminus H \rangle \end{eqnarray}$ eine Gruppe, also insbesondere abgeschlossen gegenüber der Verknüpfung. Also passiert was?
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26.10.2014, 14:54	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Gleichheit kann ich mir nicht erklären. Der Rest ist verständlich. $\begin{eqnarray} <G\setminus H> = <<G\setminus H> \cup H> \end{eqnarray}$
26.10.2014, 16:28	Jack Prince	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} H \le \langle G \setminus H \rangle \end{eqnarray}$ , dann ist die kleinste Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \langle G \setminus H \rangle \end{eqnarray}$ enthält (also $\begin{eqnarray} \langle \, \langle G \setminus H \rangle \cup H \, \rangle \end{eqnarray}$ ) doch $\begin{eqnarray} \langle G \setminus H \rangle \end{eqnarray}$ . Falls es noch nicht ersichtlich ist, beweiß doch einfach mal durch Mengeninklusionen die Gleichheit. LG

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