Verknüpfung zweier Funktionen

25.10.2014, 13:00

AmRH

Verknüpfung zweier Funktionen

Hallo hier die Aufgabe
Ist f nicht surjektiv und g injektiv, so ist g(f(x)) nicht surjektiv

Gegenbeispiel
$\begin{eqnarray*} f:\left \{ 1,2 \right \}\rightarrow \left \{ 1,2,3 \right \} g: \left \{ 1,2,3 \right \}\rightarrow \left \{ 1,2,3 \right \} , f(x)=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \left \{ 1,2,3 \right \}\rightarrow \left \{ 1,2,3 \right \}, g(y)=y \end{eqnarray*}$

Dann ist g(f(x)), aber sujektiv

Ist mein Gegenbeispiel richtig gewählt

25.10.2014, 13:10

Nofeykx

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"Dann ist g(f(x)), aber sujektiv "

Ist das so? Dann gib doch bitte einmal zu jedem Element 1,2 und 3 ein Element aus {1,2} an, das unter g•f darauf abgebildet wird.

25.10.2014, 13:11

Mulder

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RE: Verknüpfung zweier Funktionen
Ja, ist ok. Es geht auch mit noch "kleineren" Mengen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f:\left \{ 1 \right \}\rightarrow \left \{ 1,2 \right \} g: \left \{ 1,2 \right \}\rightarrow \left \{ 1,2 \right \} , f(x)=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \left \{ 1,2 \right \}\rightarrow \left \{ 1,2 \right \}, g(y)=y \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dann ist g(f(x)), aber sujektiv

Was du hier sagen wolltest, bleibt allerdings unklar.

25.10.2014, 13:20

Nofeykx

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@Mulder: warum ist denn das Gegenbeispiel ok?

Es widerlegt doch nicht die Behauptung(was natûrlich auch nicht geht, weil sie richtig ist).

25.10.2014, 13:29

AmRH

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Neuer Versuch?
$\begin{eqnarray*} f: X\rightarrow Y, g: Y\rightarrow Z, g(f(x)): X\rightarrow Z \end{eqnarray*}$
zu zeigen
$\begin{eqnarray*} \forall z \exists x, g(f(x))=z \end{eqnarray*}$

f ist nicht surjektiv
d.h es gibt ein y so dass Für alle x gilt $\begin{eqnarray*} f(x)\neq y \end{eqnarray*}$

wegen g injektiv gibt es für ein z genau ein y mit g(y)=z und es gilt für alle x
$\begin{eqnarray*} g(f(x))\neq g(y)\neq z \end{eqnarray*}$

D.h für diese eine z gibt es kein x sodass g(f(x) = z gilt, also stimmt die Aussage

25.10.2014, 13:41

Mulder

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Zitat:

Original von Nofeykx
@Mulder: warum ist denn das Gegenbeispiel ok?

Ich hatte das zunächst so verstanden, dass für obige Aussage ein Beispiel angegeben werden soll und hielt den letzten Satz für irgendwie misslungen (versehentlich Teile wieder rauskopiert?) aufgrund des völlig deplatzierten Kommas mittendrin. Aber offenbar habe ich mich da geirrt.

Mach mal ruhig weiter.

25.10.2014, 13:45

Nofeykx

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Das ist jetzt von der Idee her schonmal richtig.

Warum aber schreibst du das hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall z \exists x, g(f(x))=z \end{eqnarray*}$

Du willst doch nicht Surjektivität zeigen, sondern widerlegen.

Wenn du Variablen einführst, solltest du immer sagen, woher sie kommen. Also zum Beispiel so:

"d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \neq y \end{eqnarray*}$ ."

Dann dahinter: Du willst dir doch jetzt diese $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft hernehmen oder nicht?
Danach verwendest du $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aber noch einmal in einer quantifizierten Aussage. Das macht keinen Sinn. Sag doch einfach: Wir wählen ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit dieser Eigenschaft und setzen $\begin{eqnarray*} z := g(y) \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du schreiben, dass wegen Injektivität aus $\begin{eqnarray*} f(x)\neq y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} g(f(x)) \neq z \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ .

Erkennst du, dass das gleich viel besser von der Formulierung ist?

25.10.2014, 13:53

AmRH

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Danke für die Tipps

$\begin{eqnarray*} f: X\rightarrow Y, g: Y\rightarrow Z, g(f(x)): X\rightarrow Z \end{eqnarray*}$
zu zeigen
$\begin{eqnarray*} \exists z \forall x, g(f(x))\neq z \end{eqnarray*}$

f ist nicht surjektiv
d.h es gibt ein y so dass Für alle x gilt $\begin{eqnarray*} f(x)\neq y \end{eqnarray*}$
Wir wählen ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit dieser Eigenschaft und setzen $\begin{eqnarray*} z := g(y) \end{eqnarray*}$
wegen g injektiv gilt für alle x element von X
$\begin{eqnarray*} g(f(x))\neq g(y)\neq z \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} g(f(x))\neq z \end{eqnarray*}$

D.h für diese eine z gibt es kein x sodass g(f(x) = z gilt, also stimmt die Aussage

25.10.2014, 14:03

Nofeykx

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Zitat:

wegen g injektiv gilt für alle x element von X

$\begin{eqnarray*} g(f(x))\neq g(y)\neq z \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} g(f(x))\neq z \end{eqnarray*}$

Wieso gilt hier das zweite Ungleichheitszeichen? Die sollen doch gerade gleich sein.

25.10.2014, 14:31

AmRH

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upps

$\begin{eqnarray*} g(f(x))\neq g(y) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} g(f(x))\neq z \end{eqnarray*}$

Danke Big Laugh

25.10.2014, 15:47

Nofeykx

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Du du deinen Beweis nun abgeschlossen hast, hier ein Alternative über Widerspruch:

Sei $\begin{eqnarray*} y\in Y\setminus Bild(f) \end{eqnarray*}$ . Wäre $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv, so gäbe es $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(f(x)) = g(y) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt wegen der Injektivität von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

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