Topoloie auf Menge mit 2 Elementen

25.10.2014, 13:33

steviehawk

Topoloie auf Menge mit 2 Elementen

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich betrachte eine beliebige Menge mit 2 Elementen $\begin{eqnarray*} X = \{ a,b \} \end{eqnarray*}$ Darauf habe ich die folgenden 4 Topologien gefunden:

$\begin{eqnarray*} T_1 = \{ X, \emptyset \}, \ T_2 = \mathcal P (X), \ T_3 = \{ X, \emptyset, \{ a \}\}, \ T_4 = \{ X, \emptyset, \{ b \}\} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich noch schauen, welche davon homöomorphe topologische Räume liefern.

Meine Ideen:
Zunächst die Defintion: Zwei top. Räume $\begin{eqnarray*} (X,T_x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (Y,T_y) \end{eqnarray*}$ heißen homöomorph, falls eine Bijekton $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ existiert, wobei sowwohl $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig sind. Stetig sind Funktionen in diesem Zusammenhang, wenn Urbilder offener Menge offen sind.

Ich vermute, dass gilt: $\begin{eqnarray*} (X,T_3) \cong (X,T_4) \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich einfach die Bijetion angeben und dachte ich schreibe, dass für f eben gilt:

$\begin{eqnarray*} X \to X, \emptyset \to \emptyset, \{ a \} \to \{ b \} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ensprechend

$\begin{eqnarray*} X \to X, \emptyset \to \emptyset, \{ b \} \to \{ a \} \end{eqnarray*}$

aber jetzt ist mir aufgefallen, dass ja die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von X nach X abbilden müsste, ich habe ja von $\begin{eqnarray*} T_3 \to T_4 \end{eqnarray*}$ abgebildet.

Ich kann doch im Grunde, wenn ich von $\begin{eqnarray*} X \to X \end{eqnarray*}$ abbilde, für $\begin{eqnarray*} f= id \end{eqnarray*}$ wählen. Diese ist bijektiv und Urbilder offener Mengen sind offen. (ich geh davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \{ a\} \end{eqnarray*}$ als Einpunktmenge wie üblich abgeschlossen ist)

kann mir vielleicht jemand sagen ob das dann so passt mit der Identität als f, und damit die Räume homöomorph sind?

Danke

25.10.2014, 13:42

Che Netzer

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RE: Topoloie auf Menge mit 2 Elementen

Zitat:

Original von steviehawk
Ich kann doch im Grunde, wenn ich von $\begin{eqnarray*} X \to X \end{eqnarray*}$ abbilde, für $\begin{eqnarray*} f= id \end{eqnarray*}$ wählen. Diese ist bijektiv und Urbilder offener Mengen sind offen.

Aber nur, wenn du Bild und Urbild mit derselben Topologie ausstattest (bzw. falls die Topologie im Urbild feiner ist als die im Bild).

Welche andere Permutation von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gibt es denn noch?

Zitat:

(ich geh davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \{ a\} \end{eqnarray*}$ als Einpunktmenge wie üblich abgeschlossen ist)

Das ist bezüglich $\begin{eqnarray*} T_3 \end{eqnarray*}$ nicht der Fall. Das "wie üblich" gilt aber zumindest für Hausdorff-Räume.

25.10.2014, 13:55

steviehawk

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RE: Topoloie auf Menge mit 2 Elementen
Hallo Che Netzer,

Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} f: X \to X , \ a \to b, \ b \to a \end{eqnarray*}$ ?

25.10.2014, 13:57

Che Netzer

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RE: Topoloie auf Menge mit 2 Elementen
Schon besser Augenzwinkern

25.10.2014, 14:12

steviehawk

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RE: Topoloie auf Menge mit 2 Elementen
Sehr gut, dann kann ich daran weiter überlegen.

Ich will ja zeigen, dass die top Räume $\begin{eqnarray*} (X,T_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (X,T_4) \end{eqnarray*}$ homöomorph sind.

dazu brauche ich eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: X \to X \end{eqnarray*}$ (ich bilde als wirklich alle Elemente aus der jeweiligen Menge X ab richtig? nicht nur die aus der Topologie? )

(wenn die Frage nach homöomorphen Topologien ist, dann muss ich von der einen Topologie in die andere abbilden oder? )

Dieses f sei nun wie im letzten Post angegeben. f ist bijektiv, Und offen sind ja nur X und die leere Menge in X, die Urbilder davon sind wieder die leere Menge respektive X. Also ist die Funktion auch stetig. Für die Umkehrfunktion argumentiere ich dann ähnlich..

Inwiefern spielen denn jetzt die verschiedenen Topologien eine Rolle? Muss jetzt gelten:

$\begin{eqnarray*} f(T_3) = T_4 \end{eqnarray*}$ ? oder was war vorhin das Problem bei der Identität?

Danke

25.10.2014, 14:41

Che Netzer

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RE: Topoloie auf Menge mit 2 Elementen

Zitat:

Original von steviehawk
(wenn die Frage nach homöomorphen Topologien ist, dann muss ich von der einen Topologie in die andere abbilden oder? )

Nein, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bildet immer noch von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ab und soll ein Hömomorphismus sein, wenn man "das eine $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ " mit $\begin{eqnarray*} T_3 \end{eqnarray*}$ und "das andere $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ " mit $\begin{eqnarray*} T_4 \end{eqnarray*}$ ausstattet.
Genauer müsste man also eigentlich von homöomorphen topologischen Räumen statt von homöomorphen Topologien sprechen, falls dir das lieber ist.

Zitat:

Und offen sind ja nur X und die leere Menge in X

[/quote]
Ohne die Wahl einer Topologie ergibt der Begriff "offen" gar keinen Sinn.

Zitat:

Inwiefern spielen denn jetzt die verschiedenen Topologien eine Rolle? Muss jetzt gelten:

Siehe oben.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(T_3) = T_4 \end{eqnarray*}$ ?

Das ergibt auch nicht viel Sinn.

25.10.2014, 15:31

steviehawk

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RE: Topoloie auf Menge mit 2 Elementen
Was ist denn dann noch zu tun? Um die Homöomorphie zu zeigen?

Die Funktion f habe ich ja. Jetzt will ich zeigen, dass diese stetig ist. Dazu müssen die Urbilder offener Mengen offen sein.

Offene Menge in $\begin{eqnarray*} (X,T_4) \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \emptyset, X \end{eqnarray*}$ oder gehört jetzt $\begin{eqnarray*} \{ b\} \end{eqnarray*}$ auch noch dazu. Wahrscheinlich schon, da ja die Elemente in der Topologie sowas wie die offenen Menge sind.

Also schaue ich dir Urbilder an: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(X) = X, f^{-1}(\emptyset) = \emptyset, f^{-1}(\{ b\}) = a \end{eqnarray*}$

damit ist f stetig.

Die Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} (f)^{-1} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls stetig, denn hier sind die Urbilder:

$\begin{eqnarray*} ((f)^{-1})^{-1}(X) = X, ((f)^{-1})^{-1}(\emptyset) = \emptyset, ((f)^{-1})^{-1}(\{a\}) = \{b \} \end{eqnarray*}$

die jeweiligen Urbilder liegen also wieder in der Topolgie..

Ist das nicht im Grunde so wie bei der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ Algebra, dass das Urbild der messbaren Menge wieder messbar sein muss?

Hier habe ich eben die Urbilder der Elemente, die in der einen Topolgie liegen, müssen in der anderen liegen. Die Elemente aus der Topologie nennt man in der Regel offen, also habe ich dann diese Aussage, von wegen: Urbilder offener Menge sind offen..

Danke für die gute Hilfe smile

25.10.2014, 15:42

Che Netzer

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RE: Topoloie auf Menge mit 2 Elementen

Zitat:

Original von steviehawk
Offene Menge in $\begin{eqnarray*} (X,T_4) \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \emptyset, X \end{eqnarray*}$ oder gehört jetzt $\begin{eqnarray*} \{ b\} \end{eqnarray*}$ auch noch dazu. Wahrscheinlich schon, da ja die Elemente in der Topologie sowas wie die offenen Menge sind.

Das sind nicht "sowas wie" die offenen Mengen; das sind per Definition die offenen Mengen.

Der restliche Beweis passt.

Zitat:

Ist das nicht im Grunde so wie bei der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ Algebra, dass das Urbild der messbaren Menge wieder messbar sein muss?

Genau. Überhaupt kannst du sehr oft solche Ähnlichkeiten feststellen.

25.10.2014, 15:54

Nofeykx

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Es fehlt übrigens noch ein Satz dazu, dass je zwei andere der topologischen Räume nicht homöomorph sind. Mag trivial sein, muss aber erwähnt werden.

25.10.2014, 15:55

steviehawk

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RE: Topoloie auf Menge mit 2 Elementen
okay, dann habe ich das glaube ich soweit verstanden Wink

DANKE

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