Urnenmodell ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge

25.10.2014, 13:47	Lalala1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Urnenmodell ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge Meine Frage: Hallo, meine Aufgabe ist, dass ich eine Urne mit 8 schwarzen (Kugeln 1-8) und 8 weißen (Kugeln 9-16) Kugeln habe. Nun soll ich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass nach 8 Ziehungen ohne Zurücklegen mindestens 6 schwarze Kugeln gezogen wurden, die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle. Meine Ideen: Ich habe bereits eine Lösung, bin mir aber wirklich überhaupt nicht sicher,ob das so stimmt: Also ich weiss, dass es 12870 verschiedene Möglichkeiten gibt die gezogen werden können wegen $\begin{eqnarray} \| \Omega \| = \begin{pmatrix} 16 \\ 8 \end{pmatrix} = 12870 \end{eqnarray}$ So und damit ich ja jetzt die Wahrscheinlichkeit von dem Ereigniss A, dass mindestens 6 schwarze Kugeln gezogen werden, ausrechnen kann, muss ich die Mächtigkeit von A wissen und da bin ich mir jetzt nicht sicher 1. Fall: alle 8 schwarzen Kugeln gezogen werden 2. Fall: 7 schwarze Kugeln und eine weiße Kugel Also 1-7 werden gezogen und eine beliebige Kugel aus 9-16 Das sind dann 8 Möglichkeiten Das ganze dann auch noch mit 7,6,5,4,3,2,1 nicht gezogen => es gibt $\begin{eqnarray} 8 8 = 64 \end{eqnarray}$ weitere Möglichkeiten 3. Fall: 6 schwarze und 2 weiße Kugeln werden gezogen da habe ich mir jetzt gedacht, wenn man die 8. Kugel weglässt und dann dazu jeweils noch einmal die 7., 6.,..., 1. Kugel weglässt sind das 7 Möglichkeiten, da aber jeweils noch 2 von 8 weißen Kugeln dazu kommen (dafür gibt es $\begin{eqnarray} 8 ^2 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten), gibt es dafür insgesamt $\begin{eqnarray} 78 ^2 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. Wenn man dann die 7. Kugel weglässt sind das dann nurnoch $\begin{eqnarray} 68 ^2 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten, da bei dem 8weglassen der Fall ohne 7 und 8 schon dabei ist. Und das ganze dann so weiter ergibt, dass es für den Fall 6 schwarze und 2 weiße Kugeln insgesamt $\begin{eqnarray} 78^2 + 68^2 + 58^2 + 48^2 + 38^2 + 28^2 + 18^2 = 1792 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten gibt. Also folgt damit dann, dass es insgesamt $\begin{eqnarray} 1 + 64 + 1792 = 1857 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten gibt, dass mindestens 6 Kugeln schwarz sind bei 8 Ziehngen. Daraus folgt dann $\begin{eqnarray} P(A) = \frac{\| A \| }{\|\Omega \| } = \frac{1857}{12870} = 0,1442... \end{eqnarray}$ So das wäre dann meine Lösung, aber es könnte durchaus sein, dass ich bei der Mächtigkeit von A irgendwelche Fehler gemacht habe. Schon im Vorraus vielen Dank für jede Antwort!

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