Vereinigung von Intervallen

25.10.2014, 16:09	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung von Intervallen Meine Frage: Hallo Leute, ich möchte gerne Zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray} T_1 = \{ [a,\infty) \| a \in \mathbb Z \} \cup \{ \mathbb R, \emptyset \} \end{eqnarray}$ eine Topologie auf den reellen Zahlen ist. Meine Ideen: Also $\begin{eqnarray} X,\emptyset \end{eqnarray}$ liegen offensichtlich in $\begin{eqnarray} T_1 \end{eqnarray}$ endliche Schnitt: $\begin{eqnarray} \bigcap_{i=1,...,n} [a_i,\infty) = [\tilde a, \infty ) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \tilde a = \max_{i=1,...n} a_i \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist. Also liegen die endlichen Schnitte wieder drin. abzählbare Vereinigungen: $\begin{eqnarray} \bigcup_{i\in I} [a_i,\infty) = [\hat a, \infty) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \hat a = \min_{i \in I} a_i \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist. Also liegen die abzählbaren Vereinigungen drin. Passt das? Danke für die Korrektur
25.10.2014, 16:24	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch nicht ganz. Bei den abzählbaren Vereinigungen könnte ja z.B. $\begin{eqnarray} I=\mathbb{N}, a_i=-i \end{eqnarray}$ sein. Dann existiert aber $\begin{eqnarray} \min_{i \in I} a_i \end{eqnarray}$ gar nicht.
25.10.2014, 16:31	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du meinst also sowas: $\begin{eqnarray} \bigcup_{n \in \mathbb N} [-n,\infty) \end{eqnarray}$ okay, dann existiert das Minimum nicht, aber dann wähle ich eben das Infimum. Das Infimum wäre hier doch $\begin{eqnarray} - \infty \end{eqnarray}$ . Im schlimmsten Fall habe ich also $\begin{eqnarray} (-\infty,\infty) = \mathbb R \end{eqnarray}$ was ja drin liegt in der Topologie. Besser?
25.10.2014, 16:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, viel besser.
25.10.2014, 16:45	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein kleiner Einwurf, bin danach wieder raus: $\begin{eqnarray} T_1 \end{eqnarray}$ ist hier abzählbar, deswegen sind beliebige Vereinigungen von Elementen aus $\begin{eqnarray} T_1 \end{eqnarray}$ das gleiche wie abzählbare Vereinigungen. Grundsätzlich musst du aber zeigen, dass beliebige Vereinigungen wieder in der Topologie liegen. Das macht hier im Beweis nichtmal einen Unterschied. Du musst nur überall das "abzählbar" vor "Vereinigung" streichen.
26.10.2014, 09:27	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist vorhin noch etwas eingefallen: $\begin{eqnarray} \bigcup_{i\in I} [a_i,\infty) = [\hat a, \infty) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \hat a = \inf_{i \in I} a_i \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ stimmt doch nicht. Wenn die $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ nämlich nach unten unbeschränkt sind, hätten wir da auf der rechten Seite $\begin{eqnarray} [-\infty, \infty) \end{eqnarray}$ stehen, es müsste aber $\begin{eqnarray} (-\infty, \infty) \end{eqnarray}$ sein. Also sollte man schreiben: $\begin{eqnarray} \bigcup_{i\in I} [a_i,\infty) = \begin{cases} [\hat a, \infty) &, \hat{a}\in\mathbb{Z} \\ (-\infty, \infty) &, \hat{a}=-\infty\end{cases} \end{eqnarray}$ .
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