Ordnungstopologie

25.10.2014, 17:21	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnungstopologie Meine Frage: Hallo, ich würde gerne zeigen, dass die folgende Menge eine Topologie auf der linear geordneten Menge $\begin{eqnarray} (X,<) \end{eqnarray}$ definiert. $\begin{eqnarray} T = \{ O \subset X \| O \ \text{ist Vereinigung von elementar offenen Intervallen} \} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also zunächst habe ich mich gefragt, was für Vereinigungen hier gemeint sind? Endliche oder beliebige Vereinigungen? die leere Menge und X selbst liegen in T, das habe ich mir schon überlegt. Jetzt wollte ich die endlichen Durchschnitte ansehen: $\begin{eqnarray} \bigcap_{i=1,...,n} O_i \end{eqnarray}$ , jedes dieser $\begin{eqnarray} O_i \end{eqnarray}$ liegt ja in meiner Topologie, also ist jedes Vereinigung elementarer offener Intervalle. Also gilt doch: $\begin{eqnarray} O_i = \bigcup_{j \in J} (a_j,b_j) \end{eqnarray}$ also habe ich: $\begin{eqnarray} \bigcap_{i=1,...,n} (\bigcup_{j \in J} (a_j,b_j))_i \end{eqnarray}$ kann ich damit was anfangen?
25.10.2014, 17:47	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wichtig ist, dass die Menge der elementar offenen Intervalle schnittstabil ist. D.h. der Schnitt zweier solcher Intervalle ist wieder eins (oder halt leer).
25.10.2014, 17:54	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und Danke schon mal. Ich bräuchte doch eher eine Vereinigungsstabilität oder?
25.10.2014, 18:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Dass das Mengensystem T unter beliebiger Vereinigung abgeschlossen ist, ist nach Konstruktion trivial. Beim Versuch zu zeigen, dass T abgeschlossen unter endlichem Schnitt (Es reicht übrigens den Schnitt zweier Mengen zu nehmen, das spart dir eine Indexschlacht) ist, braucht man die Schnittstabilität.
25.10.2014, 18:31	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, also ich versuche noch mal zu zeigen, dass T abgeschlossen ist unter endlichem Schnitt (also dass dieser auch wieder in T liegt) Seien dazu $\begin{eqnarray} O_1, O_2 \in T \end{eqnarray}$ jetzt betrachte ich deren Schnitt: $\begin{eqnarray} O_1 \cap O_2 \end{eqnarray}$ sowohl $\begin{eqnarray} O_1 \end{eqnarray}$ als auc $\begin{eqnarray} O_2 \end{eqnarray}$ kann ich als Vereinigung elementarer Intervalle schreiben. Also: $\begin{eqnarray} O_1 = \bigcup_{i \in I} L_i \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} L_i \end{eqnarray}$ elementare Intervalle sind $\begin{eqnarray} O_2 = \bigcup_{j \in J} K_j \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} K_j \end{eqnarray}$ elementare Intervalle sind also habe ich zusammen: $\begin{eqnarray} O_1 \cap O_2 = (\bigcup_{i \in I} L_i) \cap (\bigcup_{j \in J} K_j ) \end{eqnarray}$ an einem Beispiel habe ich mir das nun klar gemacht und gesehen, dass nun einfach alle Kombinationen durchlaufen werden, wobei ich immer 2 elementare Intervalle schneide und diese sind ja schnittstabil.. Ich erhalte also: $\begin{eqnarray} O_1 \cap O_2 = (\bigcup_{i \in I} L_i) \cap (\bigcup_{j \in J} K_j ) = \bigcup_{i,j} (L_i \cap K_j) \end{eqnarray}$ wobei hier eben alle Kombinationen durchlaufen werden.. stimmt das? (fertig editiert)
25.10.2014, 18:38	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das passt so. Und um jetzt zu folgern, dass diese Menge in T liegt, braucht man halt, dass $\begin{align} L_i \cap K_j \end{align}$ wieder in elementar offenes Intervall ist. Das ist genau die Schnittstabilität solcher Intervalle
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25.10.2014, 20:07	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
ich soll mir nun noch überlegen, ob die Ordnungstopologie auf den reellen Zahlen die gleiche ist, wie die euklidische Topologie.. Die Antwort lautet ja, das habe ich schon herausgefunden, allerdings mag ich das noch nicht so ganz einsehen. Ich nehme an, es liegt daran, dass man jedes offene Intervall $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ auch durch seinen Mittelpunkt $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und einen Radius $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ beschreiben kann. Ist denn jedes offene Intervall in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ auch ein elementares offenes Intervall? Gruß

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