Vollständige Induktion für Anfänger

26.10.2014, 09:10

zahlenknecht

Vollständige Induktion für Anfänger

Hi,

nach jahrerlanger Matheabstinenz muss ich mich wieder der Mathematik widmen. Ich muss das ganze praktisch wieder von neu lernen und bin gerade dabei mich einzuarbeiten.

Leider habe ich die Anfangsphase verpasst und das Vorlesungsmaterial ist nicht optimal zum selbstlernen. Deshalb hoffe ich, dass ihr mir etwas helfen könnt. Die Aufgabe die ich hier hab ist wahrscheinlich für euch ziemlich einfach, aber für einen der lange nichts mehr logisches gemacht hat ist das schon ein Herausforderung.

Aufgabe: Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion: Für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^{2} = \frac{n(n + 1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

So weit ich es verstanden habe beginnt man zunächst mit den Induktionsanfang (IA). Dafür habe ich für alle n 1 eingesetzt. Es kommt dann 6/6 raus. Ist das soweit in Ordnung?

Danach kommt der Induktionsschritt (IS) und da komme ich schon ins schwanken. Sowas habe ich vorher noch nie gemacht. Aus den Vorlesungsfolien konnte ich rauslesen, dass man für n n+1 einsetzt. Das fühlt sich aber nicht ganz richtig an. Es muss doch immer eine ganze Zahl rauskommen, dass ist aber nicht bei jeden n der Fall.

Kann mir da jemand helfen?

Vielen Dank im vorraus.

MfG

26.10.2014, 09:38

10001000Nick1

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RE: Vollständige Induktion für Anfänger
Willkommen

im Matheboard! smile

Zitat:

Original von zahlenknecht
So weit ich es verstanden habe beginnt man zunächst mit den Induktionsanfang (IA). Dafür habe ich für alle n 1 eingesetzt. Es kommt dann 6/6 raus. Ist das soweit in Ordnung?

Beim Induktionsanfang musst du hier überprüfen, ob für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten dasselbe rauskommt (d.h. ob die Behauptung für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ stimmt). Du hast bis jetzt erst die rechte Seite berechnet. Jetzt also noch die linke Seite und dann beides vergleichen.

Zitat:

Original von zahlenknecht
Danach kommt der Induktionsschritt (IS) und da komme ich schon ins schwanken. Sowas habe ich vorher noch nie gemacht. Aus den Vorlesungsfolien konnte ich rauslesen, dass man für n n+1 einsetzt.

Im Induktionsschritt macht man folgendes: Man nimmt an, dass die Behauptung für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt (Induktionsvoraussetzung), und zeigt dann ausgehend von dieser Annahme, dass die Behauptung auch für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Hier ist also die Annahme: Es gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^{2} = \frac{n(n + 1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Wir wollen zeigen, dass dann gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i^{2} = \frac{(n+1)((n+1) + 1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$ (und dabei wird die Annahme verwendet).

Zitat:

Original von zahlenknecht
Das fühlt sich aber nicht ganz richtig an. Es muss doch immer eine ganze Zahl rauskommen, dass ist aber nicht bei jeden n der Fall.

Doch, die rechte Seite ist für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ selbst wieder eine natürliche Zahl (das liegt daran, dass $\begin{eqnarray*} n(n+1)(2n+1) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ durch 6 teilbar ist).

26.10.2014, 10:22

zahlenknecht

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RE: Vollständige Induktion für Anfänger

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Beim Induktionsanfang musst du hier überprüfen, ob für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten dasselbe rauskommt. Du hast bis jetzt erst die rechte Seite berechnet. Jetzt also noch die linke Seite und dann beides vergleichen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^1 i^{2} = \frac{1(1 + 1)(2*1+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Wäre das der Induktionsanfang? Dient die linke Seite nur dazu, was man mit der Variable macht? Die linke Seite sagt doch nun aus, dass die Variable von 1 bis 1 die Zahlen quadriert werden oder nicht?

Zitat:

Wie zeigt man denn, dass durch die Annahme auch die Behauptung $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ gilt? Was macht man, wenn man für n nun $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ einsetzt? Reicht es, wenn man für das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ irgendwelche natürliche Zahlen einsetzt um zu beweisen, dass die Ergebnisse im jeden Fall durch 6 teilbar sind? Oder muss das ganze noch allgemeiner bewiesen werden, also ohne einsetzen?

Zitat:

Okay, ich glaub ich hab beim ausrechnen eine Klammer vergessen, da bei mir irgendwelche Kommazahlen rauskamen.

26.10.2014, 10:38

10001000Nick1

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RE: Vollständige Induktion für Anfänger

Zitat:

Original von zahlenknecht
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^1 i^{2} = \frac{1(1 + 1)(2*1+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Wäre das der Induktionsanfang?

Ja; wenn man das ausrechnet, steht auf beiden Seiten 1, also stimmt die Aussage für n=1.

Zitat:

Original von zahlenknecht
Wäre das der Induktionsanfang? Dient die linke Seite nur dazu, was man mit der Variable macht? Die linke Seite sagt doch nun aus, dass die Variable von 1 bis 1 die Zahlen quadriert werden oder nicht?

Das verstehe ich nicht. Du hast am Anfang eine Behauptung, die du beweisen sollst. Und jetzt willst du überpüfen, ob diese Behauptung stimmt, wenn man konkret n=1 wählt.

Zitat:

Original von zahlenknecht
Wie zeigt man denn, dass durch die Annahme auch die Behauptung $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ gilt? Was macht man, wenn man für n nun $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ einsetzt?

Wir wollen also zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i^{2} = \frac{(n+1)((n+1) + 1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$ (unter der Bedingung, dass unsere Induktionsannahme gilt)
Ich mache mal den Anfang:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i^{2}=\sum\limits_{i=1}^{n} i^{2} +(n+1)^2 \overset{\stackrel{\text{hier wird die Induktions-}}{\text{annahme benutzt}}}{=}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =...= \frac{(n+1)((n+1) + 1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Den Rest musst du jetzt noch ergänzen.

26.10.2014, 16:16

Lukases2

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Ich bin ebenfalls ein Anfänger was vollständige Induktion angeht. Ich habe die Aufgabe auch einfach mal gerechnet, ohne mir vorher den ganzen Verlauf durchzulesen und habe jetzt festgestellt, dass ich quasi aus der anderen Richtung gekommen bin:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} \overset{(n+1) ausklammern)}{=}\frac{(n+1)((n+1)((1+1)(2+1)))}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{(n+1)(n+1)\cdot 6}{6} \end{eqnarray*}$

Wegen des Faktors $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ ist der Ausdruck in jedem Fall durch 6 teilbar. Kann ich das auch so machen?

27.10.2014, 09:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lukases2
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} \overset{(n+1) ausklammern)}{=}\frac{(n+1)((n+1)((1+1)(2+1)))}{6} \end{eqnarray*}$

Ich frage mich, wie du da (n+1) ausklammern willst ...

Zitat:

Original von Lukases2
Wegen des Faktors $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ ist der Ausdruck in jedem Fall durch 6 teilbar. Kann ich das auch so machen?

und ich frage mich, was du mit dieser Bemerkung sagen willst. verwirrt

19.04.2015, 20:15

ZgiAnfänger

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RE: Vollständige Induktion für Anfänger
Die Summe der Quadratzahlen von 1 bis n² beträgt

Induktionsannahme: Es gilt bis zur Zahl n.
n
© k² = n(n+1)(2n+1)
k=1 6

dann: gilt sie für n+1

n+1 n
© k² = © k² + (n+1)²
k=1 k=1

= n·(n+1)·(2n+1) + (n+1)²
6

=(n²+n)·(2n+1) + (n²+2n+1)
6

=2n³+n²+2n²+n + 6n²+12n+6
6 6

=2n³+9n²+13n+6
6

Dass habe ich mit meinem Nachhilfelehrer durchgerechnet. Daraufhin hat er so weitergerechnet:

(n+1)·(n+2)·(2n+3)
6

=(n²+2n+n+2)·(2n+3)
6

=(n²+3n+2)·(2n+3)
6

=2n³+3n²+6n²+9n+4n+6
6

=2n³+9n²+13n+6
6

Und warum er jetzt so weiterrechnet verstehe ich überhaupt nicht Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

20.04.2015, 08:58

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion für Anfänger

Zitat:

Mit dieser Schreibweise machst du keinen glücklich. Es gab hier doch genügend Latex-Code, den du hättest zitieren oder sonstwie wiederverwenden können.

Zitat:

Original von ZgiAnfänger
Und warum er jetzt so weiterrechnet verstehe ich überhaupt nicht Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Dazu muß man sich erstmal anschauen, was im Induktionsschritt zu zeigen ist:

(*) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1)(n + 2)(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$

Dein Nachhilfelehrer hat sich nun die linke Seite (*) genommen und mit viel Rechnerei das herausbekommen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2 = ... = \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{eqnarray*}$

Dann hat er sich die rechte Seite (*) genommen und die Klammern ausmultipliziert, was dann zu dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{eqnarray*}$ führt. Es kommt also das gleiche wie auf der linken Seite raus, so daß also die Gleichung (*) bewiesen ist.

Allerdings ist dieser Weg in meinen Augen etwas mühselig. Eleganter geht es so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{(n+1)}{6} \cdot 6(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(n+1)}{6} \cdot (n(2n+1) + 6n+6) = \frac{(n+1)}{6} \cdot (2n^2+7n+6) = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$

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