Bahnkurven skizzieren

26.10.2014, 10:02

törtchen22

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Bahnkurven skizzieren

Meine Frage:
Ich hab hier ein Übungsblatt aus der Uni, bei der dritten Aufgabe weiß ich aber nicht mehr weiter.

"Skizzieren Sie die folgenden Bahnkurven und berechnen Sie sowohl Geschwindigkeit als auch Beschleunigung."

$\begin{eqnarray*} r\left(t\right) = e^{\gamma t} \begin{pmatrix} \cos(\beta t) \\ \sin(\beta t) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Geschwindigkeit und Beschleunigung hab ich gemacht. Dazu habe ich den Term abgeleitet.

$\begin{eqnarray*} r'\left(t\right) = \beta \gamma e^{\gamma t} \begin{pmatrix} \-sin(\beta t) \\ \cos(\beta t) \\ \end{pmatrix} <br /> <br /> r''\left(t\right) = -\beta^{2} \gamma^{2}e^{\gamma t} \begin{pmatrix} \cos(\beta t) \\ \sin(\beta t) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber ich hab keine Ahnung, wie man Bahnkurven zeichnet. Zumal in dieser Gleichung ja soviele Variablen sind unglücklich

unglücklich

Und mit sinus etc komme ich sowieso nicht so gut klar. Wäre toll, wenn mir da jemand helfen könnte smile

smile

26.10.2014, 10:16

10001000Nick1

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Die Ableitungen stimmen nicht. Du musst die Kettenregel beachten.

Zur Bahnkurve:
Nehmen wir erst mal ein einfacheres Beispiel: $\begin{eqnarray*} c:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, c(t):=\begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Weißt du, wie die Bahnkurve dieser Kurve aussieht? (Übrigens fehlen bei deiner Kurve noch Definitions- und Wertebereich; und ohne den Definitionsbereich zu kennen, kann man auch die Bahnkurve nicht bestimmen.)

Was sind eigentlich $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ? Ich nehme an, reelle Konstanten?

26.10.2014, 10:30

törtchen22

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Ich hab die Kettenregel doch angewandt, sowohl bei e als auch bei den trigonometrischen Funktionen? Muss ich noch was beachten? geschockt

geschockt

Ich glaube, das ist ein Kreis, sicher bin ich mir aber auch nicht. In meiner Vorstellung sieht das so aus wie der Einheitskreis.

Ich wüsste auch gern, was die Buchstaben bedeuten sollen, aber unser Physikprofessor hat irgendwie Spaß am Unbekannten Big Laugh

Big Laugh

Ich dachte, $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ wären einfach irgendwelche Konstanten, deshalb hab ich sie auch in der Ableitung so behandelt.

Auf dem Blatt steht noch: "Fertigen Sie separate Skizzen and für die Fälle $\begin{eqnarray*} \gamma > 0 und \gamma < 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |\gamma | << \beta und | \gamma | >> \beta \end{eqnarray*}$ "

Da weiß ich nichtmal, was das heißen soll. unglücklich

unglücklich

26.10.2014, 10:44

10001000Nick1

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Ach ja, die Physiker. Big Laugh

Big Laugh

(die nehmen's manchmal wirklich nicht so genau)
OK, also gehen wir von $\begin{eqnarray*} \gamma, \beta\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aus. (alles andere macht in der Physik nicht so sonderlich viel Sinn)

Ich meinte oben nicht die Kettenregel, sondern die Produktregel. Hammer

Hammer

Ich schreibe deine Kurve mal in etwas anderer Darstellung: $\begin{eqnarray*} r\left(t\right) = \begin{pmatrix} e^{\gamma t}\cos(\beta t) \\ e^{\gamma t}\sin(\beta t) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Ist dir jetzt klar, wie man hier Ableiten muss?

Berechne erstmal die Ableitungen, um den Rest kümmern wir uns später. smile

smile

26.10.2014, 11:30

törtchen22

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Hier die Ableitungen:
1.
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \begin{pmatrix} e^{\gamma t}\left(\gamma \cos(\beta t)- \beta \sin(\beta t) \right) \\ e^{\gamma t} \left(\gamma \sin(\beta t)+ \beta \cos(\beta t) \right) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^{\gamma t} \left(\gamma ^{2}cos\left(\beta t\right) - 2\gamma \beta \sin(\beta t)- \beta ^{2}\cos(\beta t)\right) \\ e^{\gamma t}\left(\gamma ^{2}\sin(\beta t) +2\beta \gamma \cos(\beta t) -\beta ^{2}\sin(\beta t) \right) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, das stimmt jetzt. verwirrt

verwirrt

26.10.2014, 11:46

10001000Nick1

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Ja, das ist richtig.

Jetzt zur Bahnkurve: Wie schon gesagt, beschreibt $\begin{eqnarray*} c:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, c(t):=\begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ den Einheitskreis.
D.h. $\begin{eqnarray*} \tilde{c}(t):=s\cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (mit einem konstanten $\begin{eqnarray*} s\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) beschreibt einen Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ um den Ursprung.
Jetzt haben wir aber keine Konstante da stehen, sondern $\begin{eqnarray*} e^{\gamma t} \end{eqnarray*}$ .
Betrachten wir erstmal den Fall $\begin{eqnarray*} \gamma>0 \end{eqnarray*}$ . Was passiert da mit $\begin{eqnarray*} e^{\gamma t} \end{eqnarray*}$ , wenn t größer wird; und was bedeutet das für die Bahnkurve?
(das $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ lassen wir erstmal außer Acht; tu so, als wäre es gar nicht da)

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26.10.2014, 11:55

törtchen22

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In dem Fall würde ich sagen, der Wert des e-Terms steigt mit größer werdendem t. Das heißt, der Radius des Kreises wird größer?

26.10.2014, 11:56

10001000Nick1

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Genau, der Radius wird immer größer. D.h. wir haben dann keinen Kreis mehr, sondern ...?

26.10.2014, 12:00

törtchen22

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Wieso ist das kein Kreis mehr, wenn der Radius größer wird? verwirrt

verwirrt

Oder fällt der negative Teil weg, wegen des e? Dann wärs ein Halbkreis?

26.10.2014, 12:09

10001000Nick1

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Wenn mit wachsendem t der Faktor $\begin{eqnarray*} e^{\gamma t} \end{eqnarray*}$ immer größer wird, dann sieht die Bahnkurve so aus:
[attach]35836[/attach]

also eine immer größer werdende Spirale (ich habe hier die Werte $\begin{eqnarray*} \gamma=0.2, \beta=1 \end{eqnarray*}$ gewählt).

26.10.2014, 12:14

törtchen22

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Aaaaaahhh! Da geht mir ja ein ganzer Kronleuchter auf Big Laugh

Big Laugh

Was mach ich jetzt mit $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ? smile

smile

26.10.2014, 12:21

10001000Nick1

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Zitat:

Original von törtchen22
Aaaaaahhh! Da geht mir ja ein ganzer Kronleuchter auf Big Laugh

Big Laugh

Sehr schön. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist dir auch klar, was bei $\begin{eqnarray*} \gamma<0 \end{eqnarray*}$ passiert?

Das $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ verändert die Geschwindigkeit, mit der der zweite Faktor durchlaufen wird.
Ein Beispiel: Die Kurve $\begin{eqnarray*} d: [0,2\pi)\to\mathbb{R}^2, d(t):=\begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ beschreibt den Einheitskreis; und dieser wird genau einmal durchlaufen.
Setze ich jetzt den Faktor 2 vor das t, also $\begin{eqnarray*} \tilde{d}: [0,2\pi)\to\mathbb{R}^2, \tilde{d}(t):=\begin{pmatrix} \cos(2t) \\ \sin(2t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann bleibt die Bahnkurve dieselbe (der Einheitskreis). Der Unterschied ist jetzt aber, dass dieser Kreis zweimal durchlaufen wird.

Erkennst du jetzt, was der Faktor $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bewirkt (beachte, dass der erste Faktor nicht von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ abhängt)?

26.10.2014, 12:34

törtchen22

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$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ müsste dann was mit der Geschwindigkeit zu tun haben, die Winkelgeschwindigkeit vielleicht?

Wenn $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ kleiner als Null (also negativ) wird, wird ja der Wert für den e-Term immer kleiner. Von der Logik her müsste dann auch der Radius immer kleiner werden, sich also der Null nähern, oder?

26.10.2014, 12:57

10001000Nick1

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Zitat:

Original von törtchen22
Wenn $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ kleiner als Null (also negativ) wird, wird ja der Wert für den e-Term immer kleiner. Von der Logik her müsste dann auch der Radius immer kleiner werden, sich also der Null nähern, oder?

Ja. Wenn wir davon ausgehen, dass die Kurve nur $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ definiert ist (was ja in der Physik auch Sinn macht, wenn man t als Zeit betrachtet), dann ist der "Startpunkt" $\begin{eqnarray*} r(0)=e^0 \begin{pmatrix} \cos(0)\\ \sin(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und von dort aus wird die Spirale immer kleiner.

Zitat:

Original von törtchen22
$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ müsste dann was mit der Geschwindigkeit zu tun haben, die Winkelgeschwindigkeit vielleicht?

Auch richtig; je größer $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , umso größer ist die Geschwindigkeit, mit der die Kurve durchlaufen wird.
Allerdings verändert sich auch die Bahnkurve, wenn sich $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ändert. Das sieht man so: Wenn man t wieder als Zeit betrachtet, dann ist $\begin{eqnarray*} r\left(t\right) = e^{\gamma t} \begin{pmatrix} \cos(\beta t) \\ \sin(\beta t) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der Ort, an dem sich eine Person zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ befindet, die sich entlang der Bahnkurve bewegt.
Nehmen wir jetzt eine zweite Kurve mit dem gleichen Parameter $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , aber doppelt so großem $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \tilde{r}\left(t\right) = e^{\gamma t} \begin{pmatrix} \cos(2\beta t) \\ \sin(2\beta t) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und lassen jetzt wieder eine Person auf der Kurve laufen, dann hat die Person auf beiden Kurven zu gleichen Zeitpunkten auch den gleichen Abstand zum Ursprung (weil $\begin{eqnarray*} |r(t)|=e^{\gamma t}=|\tilde{r}(t)| \end{eqnarray*}$ für alle t gilt).
Allerdings wird ja der zweite Faktor bei $\begin{eqnarray*} \tilde{r}(t) \end{eqnarray*}$ mit doppelter Geschwindigkeit durchlaufen. D.h. auf der Kurve $\begin{eqnarray*} \tilde{r} \end{eqnarray*}$ macht man bis zu einem Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ doppelt so viele "Umdrehungen" wie auf der Kurve $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , ist aber zu diesem Zeitpunkt trotzdem auf beiden Kurven gleich weit vom Ursprung entfernt.

Wenn ich wie oben $\begin{eqnarray*} \gamma=0.2 \end{eqnarray*}$ , aber dieses Mal $\begin{eqnarray*} \beta=2 \end{eqnarray*}$ wähle, sieht die Bahnkurve so aus:
[attach]35837[/attach]

26.10.2014, 15:12

törtchen22

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Gut, das hat mir sehr geholfen, danke! Mit welchem Programm hast du die Kurven erstellt? smile

smile

Kannst du mir noch sagen, was das "<<" Zeichen bedeutet? Kleiner als ist mir klar, aber es ist ja doppelt, das hab ich vorher noch nie so gesehen.

26.10.2014, 17:18

10001000Nick1

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Mit Geogebra.

$\begin{eqnarray*} \ll \end{eqnarray*}$ bedeutet "viel kleiner als".

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