Umordnungssatz

26.10.2014, 12:59	nala13	Auf diesen Beitrag antworten »
Umordnungssatz Meine Frage: Hallo, ich beschäftige mich gerade mit dem Umordnungssatz (Riemannscher Umordnungssatz) und bin auf die Frage gestrossen: Wie erreicht man, dass eine Reihe gegen unendlich divergiert? Meine Ideen: Also ich habe den Umordnungssatz so verstanden, dass ich zum Beispiel die alternierende Reihe umordnen kann und sie zum Beispiel als Summe von geraden und ungeraden Exponenten umschreiben kann, aber da ändert sich ja nichts an der Konvergenz oder Divergenz. Die harmonische Reihe zum Beispiel divergiert nach der Umordnung auch wieder gegen unendlich. Habe ich die Frage vielleicht falsch verstanden? Oder kann ich wirklich Reihen so umordnen, dass sie nachher gegen unendlich divergieren?
26.10.2014, 13:07	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
im Matheboard! Ja, das funktioniert tatsächlich, bedingt konvergente Reihen so umzuordnen, dass die Umordnung divergiert. Wie man das macht, steht z.B. auf Wikipedia.
26.10.2014, 16:32	nala13	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Das Beispiel auf Wikipedia war gut verständlich, allerdings finde ich es schwer zu erkennen, wie ich eine Reihe umordne um das gewuenschte Ergebnisse zu bekommen. Weil wenn ich jetzt zum Beispiel die gleiche alternierende harmonische Reihe nehme, wie kann ich das jetzt umformen das ich nicht ln (2) herausbekomme sondern unendlich. Kann mir jemand einen Tipp geben?
26.10.2014, 17:46	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich benutze die Definitionen von $\begin{eqnarray} (p_n)_{n\in\mathbb{N}}, (q_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ , die auf Wikipedia stehen. Bei der alternierenden harmonischen Reihe ist dann $\begin{eqnarray} p_1=1, p_2=\frac{1}{3}, p_3=\frac{1}{5}, p_4=\frac{1}{7}, ... \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q_1=-\frac{1}{2}, q_2=-\frac{1}{4}, q_3=-\frac{1}{6}, q_4=\frac{1}{8}, ... \end{eqnarray}$ . Zuerst addieren wir jetzt Folgenglieder aus $\begin{eqnarray} (p_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ , bis die Summe 1 überschreitet: $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Jetzt addieren wir das erste Folgenglied aus $\begin{eqnarray} (q_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ das erste Folgenglied, das wir noch nicht verwendet haben: $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Jetzt wieder positive Folgenglieder, bis die Summe 2 überschreitet: $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{41} \end{eqnarray}$ Jetzt das erste negative Folgenglied, das wir noch nicht verwendet haben: $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{41}-\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ usw. Diese Umordnung divergiert dann.

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