Beweis von Mengen

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Lenny1 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Mengen
Hallo,

ich bin seit diesem Semester Lehramtsstudent der Mathematik und auch neu in diesem Forum. Erstmal einen schönen guten Tag an alle. Wink

Wir haben jetzt mit Mengen und Abbildungen begonnen und natürlich auch ein paar Übungsaufgaben erhalten. Momentan fällt es mir doch recht schwer und ich weiß noch nicht so richtig, wie ich anfangen soll. Vielleicht könnt ihr mir ja ein paar Tipps geben, nachdem ich euch erläutert habe, was ich mir bis jetzt zu der kommenden Aufgabe gedacht habe.

Seien A,B und C Teilmengen der Menge X, D Teilmenge der Menge Y. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

Gilt: A B = A C und A B = A C, dann folgt B = C.

Ich hab mir die Mengen mal aufgezeichnet, um mir einen Überblick zu verschaffen. Ich denke, dass ich ja nur irgendwie zeigen muss, dass die Menge B = die Menge C ist. Wenn B = C ist, dann muss B eine Teilmenge von C und C eine Teilmenge von B sein.
Wenn also B = C ist und C = B, könnte ich ja die Mengen in der Ausgangsgleichung ersetzen und das als neue Mengengleichung hinschreiben. Würde das schon ausreichen?

Ich würde mich echt über eine paar hilfreiche Tipps und Anregungen freuen.

Beste Grüße!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Mengen
Dürft ihr den Satz benutzen? Damit wäre es ziemlich einfach. Ansonsten könntest du diesen Satz beweisen und dann benutzen.
Lenny1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

vielen Dank für die Antwort. Also wir haben keine Vorgaben oder Verbote erhalten bezüglich irgendwelcher Sätze, aber ich denke, dass man diese vorher beweisen müsste, um sie zu benutzen. Ich mache das gerade auch zum ersten mal und probiere es zu verstehen. smile

Ganz schlau bin ich aus deinem Satz noch nicht geworden. Ich hab ihn mal probiert zu beweisen:

B = ((A B) \ A) (A B)

Von rechts nach links: sei x ((A B) \ A) (A B):

x ((A B) \ A) oder x (A B)

x B oder x (A B)

x B x (A B)

B = B.

Ich steh gerade noch aufm Schlauch. Ich weiß jetzt, dass B = B ist oder das B = (A B), aber was bringt mir das jetzt ? verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist einiges falsch drin. U.a.: Du kannst Vereinigungen oder Durchschnitte nur mit Mengen bilden, nicht mit Elementen.

Ich weiß nicht, ob du die Schreibweisen richtig verstehst: sind die Elemente in der Vereinigung von A und B ohne die Elemente, die in A sind. Die Elemente dieser Menge sind also alle in B, aber nicht im Durchschnitt . Denn die Elemente im Durchschnitt sind auch in A. Zeige also, dass ein Element von B entweder in oder in sich befindet. Daraus folgt dann die Behauptung.
Lenny1 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay alles klar. Ich habe jetzt probiert zu zeigen, dass sich ein Element von B entweder in (A B) \ A oder in (A B) befindet. Ich hoffe so ist es richtig.

Sei x (A B) \ A:

x (A B) und x A

Mithilfe von De Morgan:

x (( A) oder ( B))

x B

x B

Die Schnittmenge aus B und ist doch gerade B, da ja B eine Teilmenge von ist und A,B und Teimengen von X sind.

Ist das so richtig?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast also gezeigt, dass .

Zitat:
Original von Lenny1
Die Schnittmenge aus B und ist doch gerade B, da ja B eine Teilmenge von ist und A,B und Teimengen von X sind.


Das wiederum stimmt nicht. Es gilt . Wenn der Schnitt von A und B also nicht leer ist, dann gibt es ein Element von B, das nicht in ist.

Es kann jemand anders übernehmen, bin jetzt bis heute Abend weg.
 
 
Lenny1 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für deine Hilfe und Mühen. Wahrscheinlich ist es auch nicht so leicht mit mir. geschockt

Ich verstehe aber immer noch nicht, wie man diesen Satz nun auf die eigentliche Aufgabe anwenden soll. verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lenny1
Ich verstehe aber immer noch nicht, wie man diesen Satz nun auf die eigentliche Aufgabe anwenden soll. verwirrt


Nehmen wir an, du hättest bewiesen:
,

dann gilt:

Lenny1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

leider muss ich zugeben, dass ich das immer noch nicht richtig verstehe. Ich probier jetzt mal von vorne zu erklären, was ich bis jetzt weiß.

Also wenn ich mir die Aufgabe ansehe, dann muss ich zeigen bzw. beweisen, dass die Menge B gleich die Menge C ist.

Somit also B eine Teilmenge von C und C eine Teilmenge von. Wenn ich mir dazu Skizzen aufzeichne, ist das auch ganz logisch, aber ich hab keine Ahnung was ich mit diesen Satz anfangen soll. Könntest du bitte noch mal von vorne und evtl. kleinschrittiger deine Vorgehensweise erklären? Bei mir muss noch irgendwas total unklar sein, dass ich es überhaupt nicht nachvollziehen kann.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lenny1

Somit also B eine Teilmenge von C und C eine Teilmenge von B.


Es ist zwar durchaus üblich, Gleichheit von Mengen auf diese Weise zu zeigen, ist hier aber mit dem von mir beschriebenen Vorgehen unnötig. Vor allem auch unnötig kompliziert.

Jetzt lies dir bitte das unten Stehende noch mal in Ruhe durch. Es steht/stand schon alles da. Es ginge dann nur noch darum, die Beziehung (*) zu beweisen (Satz ist etwas zu hoch gegriffen, deswegen nenne ich es mal lieber "Beziehung" Augenzwinkern ). In der letzten Gleichungskette habe ich nur die Voraussetzungen eingesetzt und zweimal (*) benutzt.

Zitat:
Original von RavenOnJ


Nehmen wir an, du hättest bewiesen:


Dann gilt:

Lenny1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

ich glaube jetzt habe ich es verstanden. Also ich zeige, dass die Beziehung X = ((A X) \ A) (A X) stimmt (Beweis wie in einem der oberen Beiträge).

Ich muss ich zeigen, dass B = C ist. Wenn B und C gleich sind, dann muss für beide Mengen auch die Beziehung gelten.

Also:

(A B) = (A C) und (A B) = (A C) B = C

Jetzt setze ich für B und C die Beziehung ein:

(A B) = (A C) und (A B) = (A C) B = C B = ((A B) \ A) (A B) = ((A C) \ A) (A C) = C

Somit habe ich gezeigt, dass B = C ist, da für beide Mengen die Beziehung gilt. Stimmt das so? smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lenny1
Also ich zeige, dass die Beziehung X = ((A X) \ A) (A X) stimmt (Beweis wie in einem der oberen Beiträge).


wo??

Zitat:


(A B) = (A C) und (A B) = (A C) B = ((A B) \ A) (A B) = ((A C) \ A) (A C) = C

Somit habe ich gezeigt, dass B = C ist, da für beide Mengen die Beziehung gilt. Stimmt das so? smile


So kannst du nicht schlussfolgern. B=C willst du ja erst zeigen, das kannst nicht schon irgendwo zwischendrin (das Rote) voraussetzen. Das Rote gehört ganz an den Schluss.
Lenny1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

möchte mich noch einmal für deine Hilfe bedanken. Zusammen mit einer Kollegin habe ich es dann verstanden. smile
Die Lösung war ja eigentlich offensichtlich und es stand ja alles da. Mein Problem lag darin, dass ich die Voraussetzungen ganz aus den Augen verloren habe und nicht gesehen habe, dass diese nur ersetzt werden.
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