Induktionsbeweis

26.10.2014, 15:08

LllSA

Induktionsbeweis

Meine Frage:
Hallo,

Ich muss für die Uni folgende Aufgabe lösen:

Betrachten Sie die Menge Nc|Nx|N, die wie folgt induktiv definiert ist:

(i) (0,0) element N,(1,1) element N
(ii) Ist (m,n) element N dann ist (m+2,n) element N und (m,n+2) element N

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle (x,y) element N gilt: x+y ist gerade.

Meine Ideen:
Ich brauche dringend Hilfe, da ich Induktion bisher nur mit Aussagen gelöst habe...

Ich habe leider nicht mal einen Plan, was der Induktionsanfang sein soll..

Vielen Dank :-)

Lisa

26.10.2014, 19:49

Lukases2

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RE: Induktionsbeweis

Zitat:

Nc|Nx|N

Ich verstehe nicht ganz, was du damit meinst.

26.10.2014, 20:01

LllSA

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N ist echte Teilmenge aus dem Kreuzprodukt der natürlichen Zahlen

27.10.2014, 11:56

Tuling

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Kann nicht sein, insofern die Natürlichen Zahlen mit n, bzw. mit 1, 2, 3 ... bezeichnet werden. n ist kein Tupel (obwohl man natürlich auch Tupel zu N machen kann).

27.10.2014, 12:25

Guppi12

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Zitat:

Kann nicht sein

warum nicht? Es ist wohl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ meint, nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , welches LIISA als |N schreibt.

Hallo LIISA,

die Aufgabe ist nicht gut gestellt. Eigentlich müsste man $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ als den Schnitt über alle Mengen mit (i) und (ii) definieren. So wie es im Moment ist, ist zum Beispiel auch $\begin{eqnarray*} N = \mathbb N\times \mathbb N \end{eqnarray*}$ möglich.

Letztendlich geht diese Tatsache aber ganz entscheidend ein. Ich wüsste nicht, wie man den Beweis formulieren sollte, ohne das zu verwenden. Modifiziert man die Aufgabenstellung in dieser Form, würde ich so vorgehen:

Man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} N \subset \{(m,n)\in\mathbb N^2~\vert~ m+n \text{ gerade}\} \end{eqnarray*}$ , indem man zeigt, dass diese Menge (i) und (ii) erfüllt. In Wahrheit gilt natürlich sogar Gleichheit, aber das braucht man ja garnicht. Natürlich braucht man dafür die richtige Definition von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ .

Das würde ich aber nun nicht unbedingt als vollständige Induktion bezeichnen. Wenn jemand eine bessere Idee hat, immer her Augenzwinkern

Alternativ könnte man so vorgehen:

Angenommen es gibt ein Paar $\begin{eqnarray*} (m,n)\in N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m+n \end{eqnarray*}$ ungerade. Dann können wir zeigen, dass $\begin{eqnarray*} N \setminus \{(m-2k, n-2j)~\vert~ k,j\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ immernoch die Eigenschaften (i) und (ii) hat und echt kleiner ist. Das ist ein Widerspruch (aber nur, wenn eben $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ entsprechend (s.o.) definiert wurde).

Edit: Besserer Beweis eingefallen, Strukturierung dann nochmal geändert.

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