Stationäre Wärmeleitung im Zylinder

26.10.2014, 17:30	TickTack	Auf diesen Beitrag antworten »
Stationäre Wärmeleitung im Zylinder Meine Frage: Hallo ... ich hab eine eigentlich einfache Frage, ich komme aber nicht darauf: Bei der Wärmeübertragung gibt es die Fourier DGL $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}T }{dr^{2} } + \frac{n}{r} \cdot \frac{dT}{dr} = 0 \end{eqnarray}$ die je nach Geometrie ein anderes n bekommt. Bei einer planaren Fläche wird n = 0 womit der zweite Summand verschwindet ... Meine Frage ist jetzt, wenn n = 1 wird,z.B bei einer zylindrischen Oberfläche, soll $\begin{eqnarray} \frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dT}{dr}) = 0 \end{eqnarray}$ dabei herauskommen ... Meine Ideen: Ich rechne jetzt: $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}T }{dr^{2} } + \frac{1}{r} \cdot \frac{dT}{dr} = 0 \end{eqnarray}$ ich ziehe 1/r und d/dr (darf ich das ?) vor die Klammer und bekommen $\begin{eqnarray} \frac{1}{r}\frac{d}{dr}(T + r\frac{dT}{dr}) = 0 \end{eqnarray}$ was mach ich falsch ? Ich vermute, dass ich den Differentialoperator nicht so einfach ausklammern darf, aber ich google jetzt schon einige Zeit und finde kein geeignetes Beispiel. Bitte helft mir ...
27.10.2014, 08:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende die Produktregel (uv)'=u'v+uv' wobei u=r und v=T' ist. Differenzieren ergibt den gewünschten Ausdruck $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{r}\underbrace{(rT')'}_{(uv)'}=\tfrac{1}{r}\cdot \underbrace{(1\cdot T'+rT'')}_{u'v+v'u}=\tfrac{1}{r}T'+T'' \end{eqnarray}$ .

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