Cauchy-Folgen

26.10.2014, 17:53	Huzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Folgen Die Folge $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ ist bekanntlich div. Kann auch über eine Cauchy Folge gezeigt werden, wenn man m= 2n wählt und dann gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=n}^m \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ . Dann wird deutlich, dass eben jede Partialfolge, egal wie weit hinten sie in der Folge liegt, größer als 1/2 sein muss und e daher nicht beliebig klein gewählt werden kann --> Folge ist div. Warum klappt das nicht, wenn ich m=n+1 wähle? Das verstehe ich nicht, dieses Kriterium müsste ich doch frei wählen dürfen? Unter diesem Aspekt wäre die Folge konv, weil e beliebig klein werden kann. Was verstehe ich da falsch? LG
27.10.2014, 13:08	Huzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder klärt mich kurz allgemein auf. Ich habe das Cauchy Kriterium folgendermaßen verstanden: ich nehme eine beliebige Reihe und wähle epsilon beliebig. Dann wähle ich einen Bereich beliebiger Größe, in dem die Reihe evaluiert wird (z.B. n bis m=2n). Ist eine Reihe konvergent, dann gibt es irgendwo in dieser Reihe einen Bereich, der dieses Kriterium erfüllt. Egal wie ich epsilon und den Bereich wähle, irgendwo in der Reihe wird die gewählte Partialreihe kleiner als epsilon. Kann man das so sagen?
27.10.2014, 14:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist dir wohl die Logik ziemlich durcheinandergeraten: Um zu zeigen, dass $\begin{align} s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{align}$ eine Cauchy-Folge ist, musst du zeigen $\begin{align} \forall \varepsilon>0 ~ \exists n_0 ~ \forall m,n\;\mbox{mit}\;m\geq n\geq n_0: ~ \|s_n-s_m\| < \varepsilon\qquad () \end{align}$ . Oder in Worten: Egal, wie klein du das positive $\begin{align} \varepsilon \end{align}$ wählst, findest du einen genügend großen Index $\begin{align} n_0 \end{align}$ , so dass jenseits dieser Stelle sämtliche (!)* Differenzen $\begin{align} s_n-s_m \end{align}$ betragsmäßig klein genug sind (d.h. kleiner als diese Vorgabe $\begin{align} \varepsilon \end{align}$ ). Wenn du das Gegenteil beweisen willst, also dass es keine Cauchy-Folge ist, greift die Negation der Aussage (): $\begin{align} \exists \varepsilon>0 ~ \forall n_0 ~ \exists m,n\;\mbox{mit}\;m\geq n\geq n_0: ~ \|s_n-s_m\| \geq \varepsilon \end{align}$ . Oder wieder in Worten: Es reicht aus, einen* Wert $\begin{align} \varepsilon \end{align}$ zu finden, der - egal wie weit hinten in der Folge - immer mal wieder von der Differenz $\begin{align} s_n-s_m \end{align}$ betragsmäßig überschritten wird. Tja, und genau das wird doch oben bei dir gemacht, und zwar mit $\begin{align} \varepsilon=\frac{1}{2} \end{align}$ sowie $\begin{align} n=n_0 \end{align}$ und $\begin{align} m=2n_0 \end{align}$ .

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