Unbestimmte Integrale bestimmen

27.10.2014, 13:53

Opfer der Analysis

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Unbestimmte Integrale bestimmen

Meine Frage:
hey

ich muss die Existenz der folgenden Integral prüfen

$\begin{eqnarray*} a)\int_{-\infty}^{\infty} \! sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b)\int_{0}^{\infty} \! \frac{sin(x)}{\sqrt{x}} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \int_{0}^{\infty} \! sin(x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d) \int_{0}^{\infty} \! sin^2\left(\frac{1}{x}\right) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich hab keinerlei Idee wie machen sowas macht...muss man das was abschätzen mit dem Majorantenkriterium für Integrale oder was muss ich da machen? Ich weis,dass Gleichheit gilt bei f ist integrierbar <=> der grenzwert der ober- & untersumme existiert.

liebe grüße

27.10.2014, 14:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Opfer der Analysis
Ich weis,dass Gleichheit gilt bei f ist integrierbar <=> der grenzwert der ober- & untersumme existiert.

Das ist das Kriterium für (normale) Riemann-Integrale.

Wie an den Integralgrenzen in a) bis d) unschwer zu erkennen ist, handelt es sich hier aber um uneigentliche Riemann-Integrale, da brauchst du schon noch ein paar weitere bzw. andere Kriterien...

27.10.2014, 15:25

Opfer der Analysis

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Hallo

bei a) sind es ja zwei kritische grenzen

$\begin{eqnarray*} a)\int_{-\infty}^{\infty} \! sin(x) \, dx = \int_{-\infty}^{a} \! sin(x) \, dx +\int_{a}^{\infty} \! sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -\infty \leq a\leq \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$

das heißt
$\begin{eqnarray*} a)\int_{-\infty}^{\infty} \! sin(x) \, dx = \int_{-\infty}^{0} \! sin(x) \, dx +\int_{0}^{\infty} \! sin(x) \, dx = [-cos]_{-\infty}^0 + [-cos]_{0}^\infty \end{eqnarray*}$

daraus folger ich $\begin{eqnarray*} (F(0)-F(-\infty))+(F(0)+F(-\infty))= divergenz \end{eqnarray*}$

kann man das so machen?

27.10.2014, 19:57

HAL 9000

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a) Das mit dem $\begin{align*} F(\infty) \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} F(-\infty) \end{align*}$ ist schon eine sehr saloppe Schreibweise - weiß nicht, ob das bei euch so akzeptiert wird. Exakt geschrieben wäre es eher so:

Zur Existenz des Gesamtintegrals müssten beide Grenzwerte

$\begin{align*} \lim_{a\to -\infty} \int\limits_a^0 \sin(x) ~ \dd x = \lim_{a\to -\infty} (F(0)-F(a)) = \lim_{a\to -\infty} (\cos(a)-1) \end{align*}$

und

$\begin{align*} \lim_{b\to \infty} \int\limits_0^b \sin(x) ~ \dd x = \lim_{b\to \infty} (F(b)-F(0)) = \lim_{b\to \infty} (1-\cos(b)) \end{align*}$

existieren (dabei verwende ich Stammfunktion $\begin{align*} F(x)=-\cos(x) \end{align*}$ ) - tatsächlich existiert aber keiner von beiden.

27.10.2014, 20:48

Opfer der Analysis

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oke..

ich wollte bei der b) majorantenkrit machen geht das bzw. ist das sinnvoll?

$\begin{eqnarray*} b)\int_{0}^{\infty} \! \frac{sin(x)}{\sqrt{x}} \, dx \Rightarrow \lim_{b \to \infty } \int_{0}^{b} \! |\frac{sin(x)}{\sqrt{x}}| \, dx \leq \lim_{b \to \infty } \int_{0}^{b} \! \frac{sin(x)}{x} \, dx =\int_{0}^{1} \! \frac{sin(x)}{x} \, dx+\lim_{b \to \infty } \int_{1}^{b} \! \frac{sin(x)}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

jetzt

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{sin(x)}{x} \, \end{eqnarray*}$ ableiten $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{sin(x)}{x} \Rightarrow f'(x)= \frac{x*cos(x)-sin(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$ jetzt schrankensatz $\begin{eqnarray*} |f'(x)|\leq L. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \ 1 } |\frac{x*cos(x)-sin(x)}{x^2}| = 1 \end{eqnarray*}$ das heißt $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{sin(x)}{x} \, \end{eqnarray*}$ auf dem intervall $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ glm.stetig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Riemann-Integrierbar.

jetzt das gleiche verfahren für dsa Integral $\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \int_{1}^{b} \! \frac{sin(x)}{x} \, dx \end{eqnarray*}$ ist doch auch gegen $\begin{eqnarray*} |f'(x)|\leq L. \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L = 1 \end{eqnarray*}$ auch glm.stetig,dass heißt die Funktion ist integrierbar.

kann man das so machen?

28.10.2014, 07:44

HAL 9000

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Aufpassen bei den Abschätzungen! In der ersten Zeile scheinst du

$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{x}} \leq \frac{1}{x} \end{align*}$

verwenden zu wollen, was aber nur für $\begin{align*} 0<x\leq 1 \end{align*}$ gilt. Außerdem hast du wohl auch nicht beachtet, dass der Sinus auch negative Werte annehmen kann.

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28.10.2014, 08:50

opfer der anna

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Wie gehe ich denn jetzt richtig an so ne aufgabe ran ? Ich werd wahnsinniiiggg ..; (

28.10.2014, 09:55

HAL 9000

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Zunächst mal haben wir wegen $\begin{align*} |\sin(x)|\leq |x| \end{align*}$ dann

$\begin{align*} \left| \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}} \right| = \left| \frac{\sin(x)}{x}\cdot \sqrt{x} \right| \leq \sqrt{x} \end{align*}$

an der unteren Integralgrenze 0 kein Problem in Form einer Polstelle o.ä. - in dem Fall hätte man diese Grenze nämlich auch uneigentlich betrachten müssen!

Was die obere uneigentliche Grenze betrifft, so verwenden wir zunächst partielle Integration

$\begin{align*} \int\limits_1^b \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}} ~ \dd x = \Bigg[ -\frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \Bigg]_{x=1}^b - \int\limits_1^b \frac{\cos(x)}{2x\sqrt{x}} ~ \dd x \end{align*}$ .

Der vordere Teil verhält sich "friedlich":

$\begin{align*} \lim_{b\to\infty} \Bigg[ -\frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \Bigg]_{x=1}^b = \cos(1) \end{align*}$

Im hinteren Teil $\begin{align*} \int\limits_1^b \frac{\cos(x)}{2x\sqrt{x}} ~ \dd x \end{align*}$ kann man die Integrierbarkeit durch eine passende Abschätzung des Integranden via $\begin{align*} \left| \cos(x) \right|\leq 1 \end{align*}$ begründen.

28.10.2014, 14:11

Opfer der Analysis

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ok ich versuche mal die anderen beiden aufagben und werde dann am ende ein Resumeé ziehen.

$\begin{eqnarray*} c) \int_{0}^{\infty} \! sin(x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

substitution von $\begin{eqnarray*} t=x^2 ,dt= 2x \Rightarrow \sqrt[2]{t} =x , \frac{dt}{2\sqrt[2]{t} }=dx \end{eqnarray*}$

daraus folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \int_{0}^{b} \! sin(t^2) \, \frac{dt}{2\sqrt[2]{t} } \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} |sin(t^2)|\leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \int_{0}^{b} \! \, |\frac{sin(t^2)}{2\sqrt[2]{t} }| dt \leq \lim_{b \to \infty } \int_{0}^{b} \! \, \frac{1}{2\sqrt[2]{t} } dt \end{eqnarray*}$

ich ziehe den Integranten wieder auseinander

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \! \, \frac{dt}{2\sqrt[2]{t} } +\lim_{b \to \infty } \int_{\frac{\pi}{2}}^{b} \! \, \frac{dt}{2\sqrt[2]{t} } \end{eqnarray*}$

jetzt integriert

$\begin{eqnarray*} [\sqrt{x} ]_{ \frac{\pi}{2}}^{0} +\lim_{b \to \infty } [\sqrt{x} ]_{ \frac{\pi}{2}}^{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{\frac{\pi}{2}}+ -\sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

kann man das so machen ?

$\begin{eqnarray*} d) \int_{0}^{\infty} \! sin^2\left(\frac{1}{x}\right) \, dx \end{eqnarray*}$

substitution von $\begin{eqnarray*} t= \frac{1}{x},dt= \frac{-1}{ (\frac{1}{t})^2} \Rightarrow x= \frac{1}{t} =x , \frac{dt}{\frac{-1}{ (\frac{1}{t})^2} }=dx \end{eqnarray*}$

kannst du mir nicht irgendwie sagen ,was der trick hinter diesen uneigentlichen mist ist?

28.10.2014, 14:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Opfer der Analysis
und da $\begin{eqnarray*} |sin(t^2)|\leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \int_{0}^{b} \! \, |\frac{sin(t^2)}{2\sqrt[2]{t} }| dt \leq \lim_{b \to \infty } \int_{0}^{b} \! \, \frac{1}{2\sqrt[2]{t} } dt \end{eqnarray*}$

ich ziehe den Integranten wieder auseinander

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \! \, \frac{dt}{2\sqrt[2]{t} } +\lim_{b \to \infty } \int_{\frac{\pi}{2}}^{b} \! \, \frac{dt}{2\sqrt[2]{t} } \end{eqnarray*}$

jetzt integriert

$\begin{eqnarray*} [\sqrt{x} ]_{ \frac{\pi}{2}}^{0} +\lim_{b \to \infty } [\sqrt{x} ]_{ \frac{\pi}{2}}^{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{\frac{\pi}{2}}+ -\sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Erstaunt1

Es ist $\begin{align*} \lim_{b\to\infty} \sqrt{b} = \infty \end{align*}$ , somit klappt dieser Weg so nicht. unglücklich

unglücklich

28.10.2014, 14:28

Opfer der Analysis

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HAL 9000 ,

ich hab was gelesen und da wird $\begin{eqnarray*} x> sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ abgeschätz aber ich weis nicht warum und ich raff das nicht ...

wieso zieht man die grenzen nach $\begin{eqnarray*} sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ auseinander?

28.10.2014, 15:13

HAL 9000

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Ich weiß nicht, wovon du redest. Nach der Feststellung, dass Integrand $\begin{align*} \frac{1}{2\sqrt{t}} \end{align*}$ sowieso prinzipiell ungeeignet ist für eine "Bändigung" des Integrals für $\begin{align*} t\to\infty \end{align*}$ , finde ich diese $\begin{align*} \frac{\pi}{2} \end{align*}$ -Diskussion eh überflüssig wie ein Kropf.

28.10.2014, 18:50

xyxy

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \! \frac{sin(x)}{\sqrt{x}} < \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Wieso das so ist, kannst du leicht überlegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2014, 18:59

HAL 9000

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@xyxy

Spitzenbeitrag, der beweist, dass du

a) dir den Thread nicht durchgelesen hast, und

b) keine Ahnung hast: Die Majorisierung durch ein divergentes Integral ist sinnfrei.

28.10.2014, 19:05

xyxy

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Wohl wahr

Zitat:

Original von xyxy
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{sin(x)}{\sqrt{x}} < \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Wieso das so ist, kannst du leicht überlegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich hab mich hier vertippt Big Laugh

Big Laugh

28.10.2014, 19:13

HAL 9000

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Auch mit dieser Korrektur bleibt immer noch Anmerkung a):

Zitat:

Original von HAL 9000
Zunächst mal haben wir wegen $\begin{align*} |\sin(x)|\leq |x| \end{align*}$ dann

$\begin{align*} \left| \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}} \right| = \left| \frac{\sin(x)}{x}\cdot \sqrt{x} \right| \leq \sqrt{x} \end{align*}$

an der unteren Integralgrenze 0 kein Problem in Form einer Polstelle o.ä. - in dem Fall hätte man diese Grenze nämlich auch uneigentlich betrachten müssen!

Es wäre doch viel interessanter, wenn du deine Energie auf die beiden letzten, noch nicht vollständig besprochenen Integrale

Zitat:

Original von Opfer der Analysis
$\begin{eqnarray*} c) \int_{0}^{\infty} \! sin(x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d) \int_{0}^{\infty} \! sin^2\left(\frac{1}{x}\right) \, dx \end{eqnarray*}$

konzentrierst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2014, 19:34

xyxy

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Zitat:

Original von Opfer der Analysis
ok ich versuche mal die anderen beiden aufagben und werde dann am ende ein Resumeé ziehen.

$\begin{eqnarray*} c) \int_{0}^{\infty} \! sin(x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

substitution von $\begin{eqnarray*} t=x^2 ,dt= 2x \Rightarrow \sqrt[2]{t} =x , \frac{dt}{2\sqrt[2]{t} }=dx \end{eqnarray*}$

daraus folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \int_{0}^{b} \! sin(t^2) \, \frac{dt}{2\sqrt[2]{t} } \end{eqnarray*}$

[/latex]

das t^2 in sin ist falsch, sonst müsste es passieren?
$\begin{eqnarray*} 0,5 \int_{0}^{\infty} \! sin(t) \, \frac{dt}{\sqrt[2]{t} } \end{eqnarray*}$

und jetzt Vergleich die Aufgabe mit b)

Soweit korrekt HAl9000? smile

smile

28.10.2014, 20:37

Opfer der Analysis

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also ich würde sagen

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! sin(x^2) \, dx \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ integrierbar da,dort beschränkt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{1}^{b^2} \! \frac{ sin(t)}{\sqrt{t}}\, dt =[\frac{1}{2}\frac{ -cos(t)}{\sqrt{t}}]_{1}^{b^2} +\int_{1}^{b^2} \! \frac{ cos(t)}{2t\sqrt{t}}\, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{b^2} \! \frac{ cos(t)}{2t\sqrt{t}}\, dt \leq \int_{1}^{b^2} \! \frac{ 1}{2t\sqrt{t}}\, dt = [\frac{-1}{\sqrt{t}}]_{1}^{b^2} \end{eqnarray*}$

daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } [\frac{1}{2}\frac{ -cos(t)}{\sqrt{t}}]_{1}^{b^2}+\lim_{b \to \infty } [\frac{-1}{\sqrt{t}}]_{1}^{b^2} = | \frac{1}{2}+ -1|= |\frac{1}{2}| \end{eqnarray*}$ integral existiert

29.10.2014, 13:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von xyxy
$\begin{eqnarray*} 0,5 \int_{0}^{\infty} \! sin(t) \, \frac{dt}{\sqrt[2]{t} } \end{eqnarray*}$

und jetzt Vergleich die Aufgabe mit b)

Stimmt, hatte ich selbst noch gar nicht so gesehen: Da wir b) schon haben, können wir es ja auch nutzen, statt uns erneut durchkämpfen zu müssen. Freude

Freude

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