Fundamentalsatz für Lebesgue-Integrale

27.10.2014, 16:05	Max1324	Auf diesen Beitrag antworten »
Fundamentalsatz für Lebesgue-Integrale Guten Tag, folgendes Problem habe ich zu lösen: Sei $\begin{eqnarray} f: [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ -integrierbar. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} F(x) := \int_0^x f d \lambda \end{eqnarray}$ definiert eine stetige Funktion auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ . Abgesehen von der Definition über Treppenfunktionen haben wir noch nicht sehr viel über das Thema gemacht. Mein bisheriger Ansatz: zz: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} F(x) = F(x_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(x) = \int_0^x f^+ d \lambda - \int_0^x f^- d \lambda = \lim_{n \to \infty} \int_0^x f^+_n d \lambda - \int_0^x f^-_n d \lambda = \sum\limits_{k=1}^\infty l_i \lambda(A_i \cap [0,x]) - \sum\limits_{k=1}^\infty k_i \lambda(B_i \cap [0,x]) \end{eqnarray}$ Weiters weiß ich, dass die Treppenfunktionen gleichmäßig gegen f+ bzw. f- konvergieren, falls f beschränkt ist. In diesem Fall könnte ich dann einfach die Grenzwerte vertauschen und erhielte das gewünschte Ergebnis. Doch was passiert, falls f unbeschränkt ist? Kann mir da jemand weiterhelfen? Liebe Grüße Max
27.10.2014, 18:48	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du kannst zunächst mal o.B.d.A annehmen, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ positiv ist. Dann findest du zu $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ eine einfache Funktion $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \phi \leq f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int f - \int \phi < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray}$ . Schreibe jetzt $\begin{eqnarray} f = (f-\phi) + \phi \end{eqnarray}$ . Wie kannst du nun $\begin{eqnarray} \|F(y)-F(x)\| \end{eqnarray}$ abschätzen (o.b.d.A $\begin{eqnarray} x<y \end{eqnarray}$ ) ?
28.10.2014, 19:25	Max1324	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank, ich denke damit habe ich es geschafft (allerdings habe ich Epsilon/3 gebraucht ): $\begin{eqnarray} \|F(y)-F(x)\| = \| \int_0^y f d\lambda - \int_0^x f d \lambda \| = \| \int_0^y (f - \phi) d \lambda - \int_0^x (f - \phi) d \lambda + \int_0^y \phi d \lambda - \int_0^x \phi d \lambda\| < \epsilon/3 + \epsilon/3 + \| \int_x^y \phi d \lambda \| \end{eqnarray}$ Es gilt aber: $\begin{eqnarray} \| \int_x^y \phi d \lambda \| \le \sum\limits_{i=1}^n \| \lambda(A_i \cap [x,y]) \| < n \frac{\epsilon}{3n} = \epsilon/3 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} \| x - y \| < \delta \end{eqnarray*}$ , weil für alle i das Maß für y gegen x gegen 0 geht und man einfach das Minimum der Delta_i aus der Grenzwertdefinition nehmen kann.

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