Diskrete Metrik induziert die diskrete Topologie

27.10.2014, 16:24	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Diskrete Metrik induziert die diskrete Topologie Meine Frage: Hallo Leute, ich versuche gerade zu verstehe, warum die diskrete Metrik die diskrete Topologie induziert. Meine Ideen: Ich stelle mir das momentan so vor: Die diskrete Metrik lautet: $\begin{eqnarray} d(x,y) = 1 \end{eqnarray}$ im Falle $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ und Null sonst. Eine offene Menge bezüglich dieser Metrik würde meiner Anschauung nach so aussehen: $\begin{eqnarray} U(a,\epsilon) = \{x \in X \| d(x,y) < \epsilon \} \end{eqnarray}$ Wähle ich nun einmal $\begin{eqnarray} \epsilon = 1 \end{eqnarray}$ so erhalte ich: $\begin{eqnarray} U(a,1) = \{a\} \end{eqnarray}$ durch diese Konstruktion erhalte ich also alle Einpunktmengen. Wegen den beliebigen Vereinigungen erhalte ich dann die Potenzmenge als Topologie.. stimmen die Gedanken soweit? Danke

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