Freie Untergruppe SO(3)

28.10.2014, 22:12	Dramago	Auf diesen Beitrag antworten »
Freie Untergruppe SO(3) Meine Frage: Guten Abend, ich habe folgende Aufgabe: Beweisen Sie, dass die beiden Rotationen $\begin{eqnarray} Z=1/5 \begin{pmatrix} 3 & -4 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} und X=1/5* \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -4 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ um die z- bzw. x-Achse eine freie Untergruppe in SO(3) erzeugen, d.h. für $\begin{eqnarray} R=X^{a_1} Z^{b_1}...X^{a_n} Z^{b_n} \text{ mit } n\in \mathbb N , \forall i\leq n:a_i,b_i \in \mathbb Z \text { und } a_ib_j\neq 0 \text { wenn } i>0 \text { und } j<n \end{eqnarray}$ gilt R=Id genau dann, wenn n=1 und $\begin{eqnarray} a_1=b_1=0 \end{eqnarray}$ (R ist triviales Produkt) Zeigen Sie hierfür: a) wenn es ein Gegenbeispiel R gibt, dann kann man o.B.d.A $\begin{eqnarray} b_n=1 \end{eqnarray}$ annehmen, also R kann man schreiben als $\begin{eqnarray} R=P_k \text{ wobei } P_0=Id, P_l=M_lP_{l-1}, \text{ wobei } M-1=Z, M_j\in \{X,X^{-1},Z,Z^{-1}\} \text{ und } M_jM_{j-1}\neq Id \text{ für alle } j=2,...,k \end{eqnarray}$ b) Wir definieren nun $\begin{eqnarray} v_l=5^lP_l(1,0,0)^T=(a_l,b_l,c_l)^T\in \mathbb Z^3 \end{eqnarray}$ Zeigen Sie $\begin{eqnarray} b_1,b_2 \end{eqnarray}$ sind nicht durch 5 teilbar und, dass aus $\begin{eqnarray} b_{l-1}b_{l-2} \end{eqnarray}$ nicht durch 5 teilbar auch $\begin{eqnarray} b_l \end{eqnarray}$ nicht durch 5 teilbar folgt. Meine Ideen:* Ich vermute dass ich, wenn ich a) und b) gezeigt habe, schlussfolgern kann, dass die entstandene Matrix nicht durch 5 teilbar ist und somit auch nicht zur Untergruppe gehört, aber wie kann ich überhaupt a) und b) zeigen? Grüße Dramago

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