Ordnung Zentralisatorgruppen

29.10.2014, 15:41	PrinzPoldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung Zentralisatorgruppen Meine Frage: Bestimmen Sie die Ordnung der Zentralisatorgruppe aus $\begin{eqnarray} S_9 \end{eqnarray}$ für das folgende Element: $\begin{eqnarray} \sigma = (1234)(5678) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also mein Ansatz geht aus einem ähnlichem Post aus diesem Forum hervor. Ich hoffe ich bin auf dem richtigem Weg... Sei $\begin{eqnarray} K_{S_9} (\sigma) = \{ \tau \sigma \tau^{-1} : \tau \in S_9\} \end{eqnarray}$ die Konjugationsklasse von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} K_{S_9} \end{eqnarray}$ besteht aus allen Permutationen, die denselben Zykeltyp haben wie $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ , also aus allen Permutationen der folgenden Form: $\begin{eqnarray} (a_1a_2a_3a_4)(a_5a_6a_7a_8) \in S_9 \end{eqnarray}$ Wir wollen jetzt $\begin{eqnarray} \| K_{S_9} \| \end{eqnarray}$ bestimmen. Dafür argumentieren wir rekursiv wie im Folgenden: Es gibt $\begin{eqnarray} \binom {9}4 3! \end{eqnarray}$ Möglichkeiten für ein 4-Zykel in $\begin{eqnarray} S_9 \end{eqnarray}$ . Weiter gibt es $\begin{eqnarray} \binom {5}4 3! \end{eqnarray}$ Möglichkeiten für das nächste 4-Zykel in $\begin{eqnarray} S_5 \end{eqnarray}$ . Die Zykelzerlegung einer Permutation ist eindeutig bis auf Permutationen der Zykeln. Hier gilt: $\begin{eqnarray} (a_1a_2a_3a_4)(a_5a_6a_7a_8) = (a_5a_6a_7a_8)(a_1a_2a_3a_4) \end{eqnarray}$ Und somit haben wir jede Permutation zwei Mal gezählt. Insgesamt gibt es $\begin{eqnarray} ( \binom {9}4 3! \binom {5}4 3! :2 ) = 18 \binom {9}4 \binom {5}4 = 11.340 \end{eqnarray}$ Permutationen in $\begin{eqnarray} K_{S_9} (\sigma) \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} \| Z_{S_9} (\sigma) \| = \frac{\| S_9 \|}{K_{S_9} (\sigma)} = 259200 \end{eqnarray}$ Kann das wirklich sein oder hab ich ein Fehler in meiner Vorgehensweise?
29.10.2014, 16:22	PrinzPoldi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisatorgruppen Ein Rechenfehler ist mir am Schluss doch noch unterlaufen. Die Lösung müsste lauten 32.
29.10.2014, 20:30	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnung Zentralisatorgruppen Hallo Poldi, Ja, das Ergebnis stimmt. Man kann sich sogar überlegen, wie der Zentralisator aussieht: - Zentralisieren können zunächst mal Elemente, die disjunkt zu der Permutation sind: davon gibt es keine (bzw. nur Id.) - Dann natürlich jeder einzelne Zyklus und Potenzen davon, also haben wir: $\begin{eqnarray} \langle (1234),(5678)\rangle \end{eqnarray}$ (Ordnung 16) - Zuletzt gibt es noch ein Element, das die beiden Zykel vertauscht - wenn Du das noch dazupackst, kommst Du auf Ordnung 32. Gruß Reksilat

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