Homöomorphie von Intervallen

29.10.2014, 18:40	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Homöomorphie von Intervallen Meine Frage: Hallo Leute, ich soll in einer Aufgabe zeigen, dass jedes reelle Intervall $\begin{eqnarray} I \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ zu einem der Intervalle $\begin{eqnarray} \emptyset, \{ 0\}, (0,1), (0,1]. [0,1] \end{eqnarray}$ homöomorph ist. Dass diese 5 nicht homö. sind habe ich schon gezeigt. Meine Ideen: Als Homöomorphismus wurde mir die Abbildung $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \to (0,1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \to \frac{e^x}{e^x+1} \end{eqnarray}$ empfohlen. Diese ist offensichtlich stetig. Als Umkehrabbildung habe ich die Abbildung $\begin{eqnarray} f^{-1}: (0,1) \to \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \to \ln(\frac{1}{1-x}) \end{eqnarray}$ , diese ist auch stetig. f,g sind auch bijektiv. Also habe ich tatsächlich einen Homöomorphismus. Wenn ich nun ein abgeschlossenes Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ habe und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ darauf einschränke erhalte ich ein Intervall $\begin{eqnarray} [\tilde a, \tilde b ] \subset (0,1) \end{eqnarray}$ . Dieses müsste jetzt homöomorph sein zu $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ indem ich eine Verschiebung (affine Abbildung verwende) . Sei $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ diese affine Abbildung. Diese muss ja $\begin{eqnarray} \tilde a \end{eqnarray}$ auf 0 schieben und $\begin{eqnarray} \tilde b \end{eqnarray}$ auf 1. Wie sieht aber dann diese Verschiebung aus? Unter Umständen muss ich ja $\begin{eqnarray} \tilde a \end{eqnarray}$ viel weiter verschieben, dass es auf der Null landet als $\begin{eqnarray} \tilde b \end{eqnarray}$ auf die 1. Insgesamt habe ich dann aber eine Verkettung zweier Homöomorphismen oder (also v und f), diese ist aber immer noch homöomorph. Die leeren Intervalle sind natürlich homöo. zur leeren Menge und die Einpunkintervalle sind homö, zu $\begin{eqnarray} \{ 0 \} \end{eqnarray}$ für die offenen Intervalle gehe ich so vor, wie für die abgeschlossenen. Was ich noch nicht verstehe ist, warum ich überhaupt f brauche und nicht nur die Verschiebung nehmen kann? Kann mir einer bisschen weiter helfen? Danke EDIT.. brauche keine Hilfe mehr, ich habe meine Verschiebung bestimmt, eine Skizze hilft weiter.. desweiteren brauche ich f falls $\begin{eqnarray} a=\pm \infty \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b = \pm \infty \end{eqnarray}$ gilt trotzdem besten Dank
29.10.2014, 19:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Abbildung wie $\begin{align} f \end{align}$ brauchst du, um unbeschränkte Intervalle auf beschränkte homöomorph abzubilden. Du könntest natürlich auch eine rationale Funktion nehmen, etwa $\begin{align} g: (0,1) \to \mathbb{R} \, , \ y = g(x) = - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \end{align}$ Die Umkehrabbildung wäre $\begin{align} x = g^{-1}(y) = \frac{2}{2 - y + \sqrt{4+y^2}} \end{align}$ . Beschränkte auf beschränkte Intervalle geht am einfachsten mit einer linearen Abbildung $\begin{align} x \mapsto y = mx+c \end{align}$ . Eine Strecke/Gerade durch zwei Punkte zu legen, ist aber ehrlich gesagt Schulstoff.

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