Beweis: Nulldimensionales Hausdorff-Maß ist Zählmaß

29.10.2014, 19:51

Namenloser324

Beweis: Nulldimensionales Hausdorff-Maß ist Zählmaß

Hi,

ich soll zeigen, dass das 0-dimensionale (äußere) Hausdorff-maß ein Zählmaß ist, d.h. das es endlichen Mengen ihre Mächtigkeit n (== Zahl ihrer Elemente) zuweist und unendlichen das Maß unendlich.

Es geht mir vorallem um die Definition des Hausdorff-Maßes, diese sei nun gegeben:

$\begin{eqnarray*} H_{p,s} := inf \{\sum_{j=1}^{\inf} (diam B_j)^p : A \subset \cup_{j=1}^{\inf} B_j \land diam(B_j) < s\} \end{eqnarray*}$

diam(B) ist als Supremum der Abstände zwischen Elementen von B definiert.

Nun mein Problem:
Für p = 0 erhält man für $\begin{eqnarray*} (diam B_j)^p \end{eqnarray*}$ immer 1, da nach üblicher Konvention 0^0 eben 1 ergibt. Das ist natürlich gewünscht, aber ist es wirklich so, dass die abzählbare Vereinigung der Mengen B_j durchaus auch endlich viele Mengen enthalten darf? Dann wäre natürlich A eine Überdeckung von sich selbst und kann bei endlichen vielen Elementen als Überdeckung der disjunkten Punktmengen von sich selbst geschrieben werden, wodurch dann automatisch die Zählmaßeigenschaft folgt.

Is das richtig so?

Vielen Dank für jede Antwort smile

02.11.2014, 02:01

Namenloser324

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Die Antwort interessiert mich schon^^ (daher nochmal puuuuush)

02.11.2014, 09:58

Che Netzer

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RE: Beweis: Nulldimensionales Hausdorff-Maß ist Zählmaß

Zitat:

Original von Namenloser324
aber ist es wirklich so, dass die abzählbare Vereinigung der Mengen B_j durchaus auch endlich viele Mengen enthalten darf?

Das kann man meinetwegen erlauben. Wenn man das formal nicht so handhaben möchte, kann man immer noch mit leeren Mengen auffüllen und sich auf $\begin{eqnarray*} 0^0=0 \end{eqnarray*}$ einigen (in diesem Kontext).

Zitat:

Dann wäre natürlich A eine Überdeckung von sich selbst und kann bei endlichen vielen Elementen als Überdeckung der disjunkten Punktmengen von sich selbst geschrieben werden, wodurch dann automatisch die Zählmaßeigenschaft folgt.

Is das richtig so?

Das klingt allerdings etwas merkwürdig. Etwas wie $\begin{eqnarray*} H_{p,s} \end{eqnarray*}$ kann sogar einer überabzählbaren Menge immer noch Maß Eins zuweisen. Das Hausdorff-Maß entsteht im Grenzwert $\begin{eqnarray*} s\to0 \end{eqnarray*}$ .

02.11.2014, 17:27

Namenloser324

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Den letzten Grenzwert hatte ich vergessen zu erwähnen, sorry, lag daran, dass es bei den Aufgaben immer nur dieser betrachtet wurde. Der lag also immer vor.

Zitat:

Ok, wie würd das üblicherweise dabei gehandhabt? Die Notation meiner Übung suggeriert mir, dass es schon eine abzählbar unendliche Zahl an Mengen B_j sein sollten, dies würde aber nur zum Zählmaß führen, wenn man wie du sagst 0^0 als 0 definiert. Das ist mir von meiner Uni (und allen anderen Büchern) nicht geläufig. Allerdings schreibt etwa die englische Wikipedia das auch endliche Überdeckungen erlaubt sind, was mit der üblichen Definition 0^0 := 1 dann sofort zum Zählmaß führt.

Vielen Dank übrigens!

02.11.2014, 17:35

Che Netzer

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Zitat:

Original von Namenloser324
Allerdings schreibt etwa die englische Wikipedia das auch endliche Überdeckungen erlaubt sind, was mit der üblichen Definition 0^0 := 1 dann sofort zum Zählmaß führt.

Such dir eine der beiden Konventionen aus. Ich würde allerdings lieber auch endliche Überdeckungen zulassen.

Eine wirklich einheitliche "Definition" von $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ gibt es nicht.

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