Nullstellen einer Polynomfunktion mit Faktorabspaltung |
| 29.10.2014, 20:02 | mathegene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Nullstellen einer Polynomfunktion mit Faktorabspaltung Ich habeine Nullstellezu berechnen wobei ich weder mit der "Ein Faktor wird Null wenn die multiplikation eines Faktors mit dem anderen Null wird" noch mit der quadratischen Gleichung und schon gar nict mit der Polynomdivision oder dem Hornerschema auf eine brauchbare Lösung des Lösungsbiches die da heisst "N1 (-0,763/0) komme. Ansatz: f(x) = 2x³-1,5x²-x+1 Die +1 am Ende nervt mich am meisten... zuerst würde ich durch 2 dividieren.. f(x) = 2x³-1,5x²-x+1 /:2 f(x) = x³-0,75x²-0,5x+0,5 Nun ? x(x²-0,75x-0,5)+0,5=0 N1(0/0) x²-0,75x=0 ergibt für X2...N2 (0,75/0) Jedoch: 1. N2 und nicht N1 lt. Lösungsbuch. 2. 0,75 ist ungleich -0,763! Hasptproblem: Die Angabe lautet: Gegeben sind der Punkt P(1/0) und die Funktion f mit f(x) = 2x³-1,5x²-x+1; x Element der reelen Z. a.) Bestimmmen Sie die Nullstellen der Funktion f. L: [lt. Buch]=N(-0,763/0) Wie kommen da da drauf? Wenn ich den Linearfaktor mit der Polynomfunktion abspalte bleibt mir 1/4 als Rest also fällt mir diese Methode weg. Wenn ich x(x²-0,75x-0,5)+0,5=0 berechne bekomme ich für x=0,75___stimmt aber nicht. HAUPTPROBLEM: Was mache ich wenn ich durch erraten keine Nullstelle bekomme. Muss die Nullstelle immer genau NULL ergeben-ich denke schin ?!..... Hilfe?-Ja bitte-danke. MFG |
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| 29.10.2014, 20:12 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Nullstellen einer Polynomfunktion mit Faktor Abspaötung
Wieso soll das gelten? Für x = 0 wird dein Produkt 0 und es bleibt 0+0,5=0. Das stimmt wohl nicht. Ausklammern, also die Umwandlung eine Produktgleichung, macht hier kein Sinn, da du noch eine additive Konstante hast. Wenn du keine Nullstelle erraten kannst (und das ist hier wohl der Fall), bleibt nur ein Näherungsverfahren. Regula falsi oder Newton sind hier als Beispiele zu nennen. 
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| 30.10.2014, 11:50 | mathegene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Nullstellen einer Polynomfunktion mit Faktor Abspaötung Hallo! Ich habe jetzt das Newtonische Näherungsverfahren und den Regular Falsi durch.... Ich kann doch bei der Prüfung nicht so ewig lange herumrechnen bis ich ein brauchbares Ergebnis bekomme. Grauslig. Geht das nicht besser? MFG Anm: Und auf das Ergebniss im Lösungsbuch komme ich nie und nimmer. Höchster Näherungswert mit dem Regular Fasi liegt für (x0) bei -0,709732029 und somit f(x0)=0,11. Und das erst in der 10! Zeile, da ist schon eine Zeit rum da. |
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| 30.10.2014, 12:26 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
man könnte noch den Herrn Cardano zu Rate ziehen |
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| 30.10.2014, 12:32 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Nullstellen einer Polynomfunktion mit Faktor Abspaötung Mit Newton und dem Startwert -1 bin ich schon nach drei Schritten bei -0,763. Aber für kubische Gleichungen gibt es eh die Cardanischen Formeln, mit denen Du die Lösungen algebraisch wie bei der pq-Formel berechnen kannst. Eine ganz brauchbare Seite dazu ist hier. Ob Du dazu in der Prüfung die Zeit hast, kann ich nicht beurteilen. Aber Newton ist eigentlich zumutbar. Viele Grüße Steffen |
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| 30.10.2014, 12:57 | mathegene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Aw Hallo Steffen! Ja danke für den Tipp mit der Cardanischen Formel...werde ich geich rechnen. MFG |
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| 30.10.2014, 13:04 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aw Bitteschön. Ich werde den Dank an Micha weiterleiten, der war schneller. 
Viele Grüße Steffen |
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| 30.10.2014, 13:45 | mathegene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Altes neu hergebracht Also los gehts mit dem guten Cardano... f(x)=2x³-1,5x²-x+1 /:2 0=x³-0,75x²-0,5x+0,5 jetzt.... 0=x³-0,75x²+0,75x+1-0,75x-1-0,5x+0,5 0=(x+1)³-0,5x+0,5 (x+1)³=0,5x+0,5 ......z=x+1 und x=z-1 R: z³=0,5(z-1)+0,5 z³=0,5z z²=0,5 z=0,70 z=x+1 x=z-1 E: 0,70-1=-0,70. Kann mir bitte einer erklären was es mit dem (-0,75x²/0,75x²)+1 auf sich hat bzw. gilt das immer - so wäre 2/3x²..........(2/3x²:-2/3x²)? Und jetzt Minus oder plus? MFG Ist auch nur eine Annäherung oder? Bzw. habe ich, dass mit einem programmierten Excel Script ausgeben lassen und der rechnet schön die Kommastellen bis in den letzten Winkel. Ich denke ich habe dieses Verfahren nicht bestannden oder? Und wenn es den nun so ist wo kann ich mich verbessern
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| 30.10.2014, 14:01 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, Cardano ist genausowenig eine Annäherung wie die pq-Formel.
Das sieht merkwürdig aus, denn (x+1)³ ist nicht x³-0,75x²+0,75x+1-0,75x-1=x³-0,75x². Hast Du Dir auf meinem Link mal die "Lösungen mit Erläuterungen" angesehen? |
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| 30.10.2014, 15:12 | mathegene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Habe ich... Ja habe ich nur wenn es darum geht, dass er das y durch einen Therm ausdrückt, steige ich aus weil ich nicht so ganz verstehe wie er das macht. MFG Aber ich sehe mirs nochmal an ;-) |
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| 30.10.2014, 15:29 | mathegene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lerndeffizite Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form denke-denke |
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| 30.10.2014, 15:35 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist ja gerade die Substitution. Aus jedem "x" in der Gleichung x³ - 0,75x² - 0,5x + 0,5 = 0 wird ein "y+0,25". So entsteht also (y + 0,25)³ - 0,75(y + 0,25)² - 0,5(y + 0,25) + 0,5 = 0 Und so weiter. Wenn Ihr allerdings nie mit Cardano gearbeitet habt, wird so etwas mit Sicherheit nicht verlangt. Eher Newton, wie gesagt, der ist auch angenehmer. |
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| 30.10.2014, 15:43 | mathegene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| keine von allen Also ich bin beim durcharbeiten des Buches "Mathematik für die Fachhochschulreife" Dort stehen immer nur kurz die LÖsungen. Und ich bin bei Differenzialrechnungen eingestiegen-heisst also ich erarbeite mir das Ganze Step by Step. Aber was dann schneller geht möchte ich auch gerne herausfinden. MFG |
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| 30.10.2014, 15:45 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: keine von allen
Dann zeig doch mal, wie Du mit Newton auf die Lösung kommst. Geht wirklich schnell. |
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| 30.10.2014, 15:50 | mathegene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| ok f(x)=x³-0,75x²-0,5x+1=0 f´(x)=3x²-1,5x-0,5 x0=a-f(a)*(b-a)/f(b)-f(a) Was ist hier mein a und b, lese ich das aus der Gleichung ab oder ist dies ein Definitionsbereich den ich wähle? MFG Durch raten habe ich von 0 bis -2 die Funktionswerte berechnet. Dann habe ich jenen Wert x=1/f(x)=-0,25 als a und b zu wälen weill der am nähesten an Null ist. Stimmt dass so? |
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| 30.10.2014, 16:00 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: ok Nein, Newton ist viel einfacher.
Der Term von f(x) ist falsch, die Konstante ist 0,5 und nicht 1. Aber egal. Jetzt schnappt man sich einen Startwert x0 und berechnet daraus x1 über Und aus dem x1 berechnet man auf dieselbe Weise x2: Und so weiter. Schon das x3 dürfte sehr nah an der Lösung liegen. Mach das doch mal. |
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| 30.10.2014, 16:06 | mathegene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: ok f(x)=x³-0,75x²-0,5x+1=0 f´(x)=3x²-1,5x-0,5 x0=a-f(a)*(b-a)/f(b)-f´(a) x: 0__1____-1____2__-2 f(x): 1_0,75_-0,25___5__-11 Nun nehme ich die -1 und -0,25. f(a) f(-1)=-1³-0,75*1²-0,5*-1+1 f(-1)= -1-0,75+0,5+1 f(-1)=-0,25 f´(-1)=4 f(b) f(-0,25)=1,0625 x0=(-1+0,25)*[(-0,25+1)/(1,0625-4)=0,191489362 f(0,191489362)=0,883775753 Anm: Erstmal wäre mir wichtig zu wissen ob der Rechenweg passt, danke. MFG |
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| 30.10.2014, 16:39 | mathegene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Der Absolutfakor mit 1 statt 0,5 ließ mich..naja f(x)=x³-0,75x²-0,5x+0,5=0 f´(x)=3x²-1,5x-0,5 x0=a-f(a)*(b-a)/f(b)-f´(a) f´(-1)=4 x: 0__1____-1____2__-2 f(x): 1_0,75_-0,25___5__-11 Nun nehme ich die -1 und -0,25. x1=-1 ------------------------------------ x2=-1-(-0,75/4) x2=-0,8125 f(x)=-0,125244141 ------------------------------------- x3=-0,8125 -( -0,125244141/2,69921875) x3=-0,766099855 f(x)=-0,006762704 ------------------------------------- x3=-0,766099855 -( -0,006762704/2,409876746) x3=-0,76329361 f(x)=-0,000023983 ------------------------------------- MFG Danke für deine Hilfe, mfg. |
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| 30.10.2014, 16:45 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Der Absolutfakor mit 1 statt 0,5 ließ mich..naja Ich verstehe Deine Rechnung leider nicht. Wie Du richtig schreibst, ist Die Formel für x1 lautet also Nun setz x0=-1 und rechne. |
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