Zwischenwertsatz in Q

29.10.2014, 21:42

Pen86

Zwischenwertsatz in Q

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}, x\rightarrow x^{2004}+x^{1979}-17 \end{eqnarray*}$
keine Nullstelle in Q besitzt und das es kein Wiederspruch zu den Zwischenwertsatz darstellt.

Der Zwischenwertsatz gilt immer für stetige Funktion, die in R liegen und nicht ist für Q nicht immer gültig.
Als geeinigte gegenbsp reicht f(x)=x^2-2, die Bedingung des Zws sind erfüllt, dennoch liegt keine Nullstelle vor, wei die Nullstelle eine irrationale Zahl ist.

Falls y=0 sein soll dann gilt

$\begin{eqnarray*} x^{2004}+x^{1979}-17=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^{25}+1)x^{1979}=17 \end{eqnarray*}$

17 ist eine Primzahl und kann nicht in Faktoren zerlegt werden! Widerspruch zur linken Seite, da die linke Seite eine Produkt darstellt

Das wäre so mein Versuch smile

29.10.2014, 21:50

Namenloser324

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Das gilt nur für natürliche Zahlen, natürlich kann man 17 als Produkt zweier rationaler Zahlen schreiben.

Die Idee ist aber grundsätzlich (glaube ich) gut! Zerleg doch mal x in x = n/m und schau ob du dann einen ähnlichen Widerspruch erzeugen kannst (n, m aus N)

29.10.2014, 22:09

Pen86

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$\begin{eqnarray*} (x^{25}+1)x^{1979}=17 \end{eqnarray*}$
x=m/n

$\begin{eqnarray*} (x^{25}+1)m^{1979}=17n^{1979} \end{eqnarray*}$
da n und m teilerfremd sind müssen 17 und m^1979 gleich sein? Widerspruch da m ist Element von Q

29.10.2014, 22:39

Pen86

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Zitat:

Original von Pen86
$\begin{eqnarray*} (x^{25}+1)x^{1979}=17 \end{eqnarray*}$
x=m/n

$\begin{eqnarray*} (x^{25}+1)m^{1979}=17n^{1979} \end{eqnarray*}$
da n und m teilerfremd sind müssen 17 und m^1979 gleich sein? Widerspruch da m ist Element von Q

Ne,
ich würde sagen 17 ist Teiler von m^1979
also m^1979=17*k k Element von Z und das ist nicht möglich?

29.10.2014, 23:21

Namenloser324

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$\begin{eqnarray*} (x^{25}+1)m^{1979}=17n^{1979} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass x^25 + 1 eine natürliche Zahl sein muss. Das kann nicht sein, da 1 < x < 2 (das sieht man durch Einsetzen) und somit x^25 nicht natürlich ist. Das muss man jedoch auch erstmal beweisen (oder ihr dürft es benutzen, ist aber einfach wie ich gerade sehe)

30.10.2014, 12:42

Pen86

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Ich habe deine Argumentation soweit verstanden, aber ich möchte mein vorschlag zeigen:

$\begin{eqnarray*} x^{2004}+x^{1979}-17=0 \end{eqnarray*}$

sei x=m/n

$\begin{eqnarray*} m^{2004}+m^{1979}*n^{25}-17n^{1979}=0 \end{eqnarray*}$

17 muss durch m teilbar sein
und 1 muss durch n teilbar sein

also kommt nur die Lösung x=17 in Frage, aber 17 eingesetzt ergibt nicht null.

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