[Artikel] Der Satz über implizite Funktionen

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[Artikel] Der Satz über implizite Funktionen
Der Satz über implizite Funktionen ist einer der zentralen Sätze der Analysis. Anwendung findet er in vielen Bereichen, zum Beispiel Differentialgleichungen.

In diesem Artikel sollen einige Beispiele durchgerechnet werden und (wenn möglich) grafisch dargestellt werden.


Inhaltsverzeichnis:

1. Der Satz über implizite Funkiton
2. Ein spannender Sonderfall: m=1
3. Ein erstes Beispiel
4. Implizite Funktionen und Taylorpolynome
5. Mehrdimensionale Beispiele
6. Interessante Links
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1. Der Satz über implizite Funktionen

Bezeichnungen: .

Mit wird die offene Einheitskugel um mit Radius bezeichnet.

Außerdem: . Im Fall ist dies also die bekannte partielle Ableitung.

Andere Bezeichnungen sind und .

Der Satz
Sei ein Gebiet, also offen und wegzusammenhängend, stetig differenzierbar, mit und .

Dann existiert ein und eine stetig differenzirbare Fuktion mit in . Es gilt außerdem
und für mit .

Außerdem gilt: .

In Worten:
Benötigt wird zunächst eine Funktion und eine Gleichung der Form . Wir zerlegen die Punkte aus dem Definitionsbereich also in zwei passende Komponenten. Beispielsweise kann man den Punkt auch anders schreiben: . Hier ist also . Dementsprechend würde die zugrundeligende Funktion nach abbilden. Oft ist in den Aufgaben der passende Punkt angegeben. Um zu testen, welche Matrix invertierbar sein soll (denn ganau das heißt die Bedingungen der nicht verschwindenen Determinante), schaut man sich die Dimension des Wertebereichs an. Passend dazu wählt man von rechts die Teilmatrix der Jacobimatrix von aus, die zu einer quadratischen Matrix führt. Nach Einsetzen muss dann nur noch die Regularität der Matrix überprüft werden.
 
 
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2. Ein spannender Sonderfall: m=1

Oftmals sind die Funktionen, die in Aufgaben zu dem Satz über implizite Funktionen vorkommen, reellwertig. Der Satz macht über die existierende Funktion wenige konkrete Aussagen. Im Fall von reellwertigen Funktionen bietet es sich allerdings an, die Funktion mit ihrem Taylorpolynom 2. Ordnung zu approxiemieren. Dazu benötigt man erste und zweite Ableitungen, die man mit dem Satz aber recht einfach berechnen kann. Allgemein gezeigt werden soll das am Beispiel einer Funktion und einer Funktion . Für höherdimensionale Funktionen funktioniert die Vorgehensweise analog.

Gegeben sei also die Gleichung und ein Punkt . Nach dem Satz ist also . Wir bilden den Gradienten von und überprüfen . Anders gesagt bilden wir die partielle Ableitung nach y und setzen den Punkt ein. Ist diese reelle Zahl (es ergibt sich also eine - Matrix) ungleich Null, ist sie invertierbar.

Gegeben sei nun die Gleichung und ein Punkt . Nach dem Satz ist also . Wir bilden den Gradienten von und überprüfen . Anders gesagt bilden wir die partielle Ableitung nach z und setzen den Punkt ein. Ist diese reelle Zahl (es ergibt sich also eine - Matrix) ungleich Null, ist sie invertierbar.

Für die Existenz der zugehörigen Funktionen mit bzw. mit ist nichts weiter zu tun, der Satz liefert ihre Existenz.

Möchte man jetzt die Funktionen mit ihrem (2.) Taylorpolynom approximieren, nutzen wir die Formel aus dem Satz:

Nach dem Satz gilt und damit .
Leiten wir diese Gleichung ein weiteres Mal nach ab, ergibt sich:



Dabei wurden die Argumente der Übersicht halber ab Zeile 2 weggelassen. Nach Umstellen und Auflösen erhalten wir:



Setzen wir hier noch die vorher berechneten Ableitungen ein, ergibt sich:



Auch hier wurden die Argumente weggelassen. Damit diese Formel gilt, setzen wir voraus, dass zwei mal stetig differenzierbar ist, dass also ist. Setzt man in alle Formeln den Punkt ein, dann ist eine konkrete Berechnung möglich. Zunächst berechnet man die erste Ableitung in , dann die zweite.

Danach approximieren wir mit der bekannten Formel

.

Um das zweite Taylorpolynom von zu bestimmen, differenzieren wir die Gleichung nach und . Es ergibt sich für die Ableitung nach (wieder ohne Argumente):



Analog ergibt sich für die Ableitung nach



Damit erhält man den Gradienten der Funktion . Er ist auch direkt aus der Formel im Satz berechenbar:
.

Für die zweiten Ableitungen differenzieren wir

nach
nach
nach

Ausführlich soll hier nur die erste Rechnung vorgestellt werden:



Hierbei sind alle Größen bis auf bekannt und es kann aufgelöst werden.

Die anderen Gleichungen können als Übung hergeleitet werden (bei Bedarf einfach einen Thread in der HS-Analysis erstellen und nachfragen):




Damit kann auch mit seinem Taylorpolynom approximiert werden:

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3. Ein erstes Beispiel

Zunächst wollen wir ein Beispiel betrachten, für das wir im Grunde den Satz über implizite Funktionen nicht benötigen. Gegeben sei die Gleichung

.

Bekanntermaßen definiert diese Gleichung einen Kreis um 0 mit Radius 1. Wir können sie in jedem Punkt explizit nach y auflösen:

und

Auch der Satz liefert diese Aussage: Setzen wir , ist und die Gleichung somit nur für auflösbar.

Es gilt und und . Für die implizite Funktion gilt dann

Auch die vorher durchgeführte Umformung ergibt dieses Resultat
.



Die blaue Linie im Diagramm ist die Tangente im Punkt .
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4. Implizite Funktionen und Taylorpolynome

Aufgabe 4.1
Gegeben sei die Funktion und . Wir möchten die Gleichung in einer Umgebung von in der Form auflösen.


ist lokal in der Form auflösbar.

Gesucht: .

Zunächst bestimmen wir alle benötigten partiellen Ableitungen.














Den Gradienten von berechnen wir gemäß der Formel aus dem Satz:

.

Die zweiten Ableitungen erhält man mit den drei Gleichungen:










Das Taylorpolynom ergibt sich als


Die folgende Abbildung veranschaulicht die Situation:
[attach]21021[/attach]

Aufgabe 4.2
Hier soll eine ähnliche Aufgabe bearbeitet werden:
Gegeben sei die Gleichung . Außerdem: . Wir definieren die linke Seite der Gleichung als eine Funktion .
Es gilt . Weiterhin ist . Also existiert in einer Umgebung von eine Funktion mit und .

Die für das Taylorpolynom benötigten Ableitungen lauten:














Für die Funktion gilt also mit den jeweiligen Formeln:

.





Damit approximieren wir durch



Auch hier soll eine grafische Veranschaulichung geleistet werden:
[attach]21057[/attach]
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5. Mehrdimensionale Beispiele

Aufgabe 5.1

Zeige, dass durch die Gleichungen



in einer Umgebung des Punktes eine Funktion mit und implizit definiert wird. Berechne die Jacobimatrix von in .

Zunächst benötigen wir eine Funktion , wir definieren daher . Der zu betrachtende Punkt ist hier bereits gegeben, er lautet . Es gilt . Die Jacobimatrix von lautet: . Um nun die Teilmatrix zu finden, die regulär sein muss, suchen wir uns von rechts ausgehend die Teilmatrix, die der Dimension des Bildbereiches von entspricht, also eine - Matrix, da in den abbildet.
Wir betrachten nun also die Matrix und stellen fest: . Damit existiert die Funktion wie gewünscht.

Die Jacobimatrix erhalten wir durch die Formel aus dem Satz



Aufgabe 5.2

Zeige, dass das Gleichungssystem



in einer Umgebung von eine Funktion mit definiert. Bestimme !

Wir gehen hier wie in Aufgabe 5.1 vor. Zunächst definieren wir uns eine geeignete Funktion: . Es gilt . Außerdem:
.
.

Damit existiert auch hier die gewünschte Funktion .

Die Jacobimatrix berechnet sich durch

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