Inhomogene Transportgleichung / Ableitung

30.10.2014, 17:40	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Inhomogene Transportgleichung / Ableitung Hallo zusammen. Ich arbeite mich gerade ein wenig in partielle DGLn ein und habe scheinbar nach einiger Zeit wieder ziemliche Lücken bekommen, was Integration und Differentiation in höheren Dimensionen angeht. Ausgangslage: Sei $\begin{eqnarray} g(x) \in C^{1}\left(\mathbb R ^{n}\right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(t,x) \in C\left(\mathbb R \times \mathbb R ^{n}\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(t,\cdot ) \in C^{1}\left( \mathbb R ^{n}\right) \end{eqnarray}$ . Außerdem sei in diesem Fall $\begin{eqnarray} u(t,x ) \in C^{1}\left(\mathbb R \times \mathbb R ^{n}\right) \end{eqnarray}$ gegeben mit $\begin{eqnarray} u(t,x) = g(x-bt)+\int_0^t \! f(s,x+(s-t)b) \, ds, b\in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ Jetzt ist die Ableitung von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ gesucht und bei mir steht: $\begin{eqnarray} u_{t}(t,x) = - \langle b, \nabla g(x-bt) \rangle + f(t,x) - \int_0^t \! \langle b, \nabla f(s,x+(s-t)b \rangle \, ds \end{eqnarray}$ Nun meine Frage, wie diese Ableitung zustande kommt. Der erste Term ist kein Problem, der ergibt sich einfach aus der Anwendung der Kettenregel auf g(x-bt), wenn ich das richtig sehe, aber der Rest..? Integration und Differentiation heben sich ja in gewisser Weise gegenseitig auf, aber ich komme leider trotzdem nicht dahinter, wie ich den Term mit dem Integral ableiten soll. Intuitiv hätte ich zuerst integriert und hätte dann einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray} F(t,x+(t-t)b)-F(0,x-tb) \end{eqnarray}$ da stehen. So könnte ich mir zumindest halbwegs erklären, wie der Term $\begin{eqnarray} f(t,x) \end{eqnarray}$ zustandekommt. Aber der letzte Term mit dem Integral, der dann noch abgezogen wird...? Immer, wenn ich ein SKP sehe, denke ich sofort an die Kettenregel, aber hier stehe ich leider echt auf dem Schlauch, auch dadurch, dass die Variable $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ einmal als Integrationsgrenze vorkommt und andererseits auch ein Argument der Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist. Vielleicht kann mir ja einer von euch einen Tipp geben? Vielen Dank schonmal!
30.10.2014, 17:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inhomogene Transportgleichung / Ableitung Letztlich Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, vgl. hier
30.10.2014, 20:13	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Mmh... irgendwie scheine ich wirklich ein Brett vor dem Kopf zu haben. Habe mir deinen Link angesehen und konnte die Rechnungen von HAL dort auch sehr gut nachvollziehen. Ich schaffe es aber leider nicht, dies auf mein Beispiel zu übertragen. Irgendwie habe ich dafür eine Variable zuviel (t,x,s). Wenn ich den Integralterm nach $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ integriere, erhalte ich doch einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray} u(t,x) = F(t,x+(t-t)b) - F(0,x-tb) = F(t,x) - F(0,x-tb) \end{eqnarray}$ Ich bin jetzt wirklich verwirrt, wie ich diese Funktion jetzt ableiten soll, da ich gar nicht recht weiß, was jetzt von welchen Variablen abhängt. Wenn ich mir jetzt z.b. den Term $\begin{eqnarray} F(t,x) \end{eqnarray}$ ansehe und ihn ableiten will, welche variablen müssen dann berücksichtigt werden? $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ? Ich komme total durcheinander, denn in der Lösung tauchen ja auch Skalarprodukte auf, d.h. es muss irgendwo nach x abgeleitet werden, denn $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ sind reelle Zahlen. MMn müsste man doch von $\begin{eqnarray} F(t,x) \end{eqnarray}$ wieder zu $\begin{eqnarray} f(t,x) \end{eqnarray}$ zurückkommen, aber das bekomme ich nicht hin. $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bzgl. der Variable $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ . Ich schaffe es leider nicht, das Prinzip aus deinem Link auf diese Aufgabe zu übertragen, da ich nicht wüsste, wie ich die Variable $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ hier einbauen sollte. Ich hätte jetzt nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ abgeleitet, die Kettenregel verwendet und würde den Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd t} F(t,x)=F_{t}(t,x) \cdot 1+F_{x}(t,x)\cdot 0 = F_{t}(t,x) \end{eqnarray}$ erhalten. Aber das ist doch nicht gleich $\begin{eqnarray} f(t,x) \end{eqnarray}$ , wie es in der Lösung steht, da $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ doch Stammfunktion bzgl. $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ war...? Betrachte ich dann den Ausdruck $\begin{eqnarray} -F(0,x-tb) \end{eqnarray}$ , so erhalte ich dann mit analogen Überlegungen den Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd t} -F(0,x-tb) = -F_{t}(0,x-tb) \cdot 0 - F_{x}(0,x-tb) \cdot (-b) \\ = b \cdot F_x (0,x-tb) = \langle b, \nabla F(0,x-tb) \rangle \end{eqnarray}$ Aber das sieht nur sehr entfernt der Lösung ähnlich und ist wohl auch vollkommen falsch... Wie gesagt, mir ist hier irgendwie eine Variable zu viel und ich weiß nicht, wie ich das $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ hier bei den Ableitungen einbauen soll Entschuldige, dass ich so ein Wirrwarr geschrieben habe. Ich hoffe, du kannst meine Gedankengänge trotzdem einigermaßen nachvollziehen.
31.10.2014, 01:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir kümmern uns nur noch um $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\int_0^t \! f(s,x+(s-t)b) \, ds \end{eqnarray}$ . Dein Integrand ist $\begin{eqnarray} \gamma(t,s):=f(s,x+(s-t)b) \end{eqnarray}$ (entspricht dem g(x,y) in dem verlinkten Beispiel; das hier auftretende x ist nur ein Parameter, der für das Folgende keine Rolle spielt) Dort wird $\begin{eqnarray} g_x(x,y) \end{eqnarray}$ betrachtet. Dem entspricht hier $\begin{eqnarray} \gamma_t(t,s)=\langle \nabla_nf(s,x+(s-t)b),-b\rangle \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \nabla_n \end{eqnarray}$ bedeutet hier, dass nach der zweiten Variablen von $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ abgeleitet wird; die Kettenregel liefert das -b) Dann bleibt dort noch $\begin{eqnarray} g(x,b(x))b'(x) \end{eqnarray}$ . Dem entspricht hier $\begin{eqnarray} \gamma(t,t)=f(t,x) \end{eqnarray}$ Schließlich $\begin{eqnarray} g(x,a(x))a'(x) \end{eqnarray}$ . Das entspricht hier $\begin{eqnarray} \gamma(t,0)\ 0 =0 \end{eqnarray}$
31.10.2014, 12:08	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohje, natürlich... Wo ist bitte die nächste Tischplatte für meinen Kopf? Ich hatte mich wirklich festgefahren in der Frage nach den Variablen und dann den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen. Vor allem habe ich mich im Bezug auf die Ableitung von $\begin{eqnarray} \gamma_{t}(t,s) \end{eqnarray}$ verwirren lassen, da ich dort das $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ irgendwie in die Ableitung hineinwurschteln wollte und dadurch einfach nicht mehr auf die Idee kam, $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ganz einfach abzuleiten. Diese Gedanken sind dann immer abwegiger geworden und das Chaos war komplett. Vielen Dank auf jeden Fall, dass du mir das Brett vom Kopf genommen hast. Im Nachhinein ist es natürlich wirklich einfach gewesen.
31.10.2014, 12:23	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Tischplatte für deine Kopf? Ich dachte, du wärst froh, das Brett vor dem Kopf los geworden zu sein
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