Einschließung und Ausschließungsprinzip |
| 30.10.2014, 20:10 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Einschließung und Ausschließungsprinzip ich brauche mal Hilfe bei einer Aufgabe: "Wieviele natürliche Zahlen kleinergleich 1000 werden von keiner der Zahlen 2, 3 und 5 geteilt?" Als Hinweis soll man das Einschließung und Ausschließungsprinzip verwenden, leider weiß ich nicht was das genau aussagt, und wie ich diese Aufgabe lösen soll, vielleicht kann mir jemand dabei helfen? Ideen: Nehme die Zahlen die 1000 durch 2 teilen, das sind alle Geraden Zahlen. Damit fällt schonmal die Hälfte der Zahlen weg, die Zahlen die 3 teilen, sind alle gemeinsamen Vielfachen von 333? Aber wie genau rechne ich das nun? |
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| 30.10.2014, 20:20 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das Ein- und Ausschließungsprinzip besagt folgendes: Für alle endlichen Mengen gilt: Setze jetzt Jetzt kannst du erstmal die Anzahl aller Zahlen kleiner/gleich 1000 bestimmen, die von mind. einer der Zahlen 2,3,5 geteilt werden. Die gesuchte Anzahl ist dann die Differenz zu 1000. Edit: Mengendefinitionen korrigiert. |
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| 30.10.2014, 20:53 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gut, ich habe die Aussage verstanden, es soll quasi nur eine Formel darstellen. Zur A) Heißt das, es gibt 500 Zahlen die 2 teilt? Oder wie ermittle ich die Anahl der Zahlen. Weil es ja heißt: kleiner gleich 1000, heißt ja, ich muss alle Zahlen finden, die 2 teillt zwischen 1 und 1000. 2 teilt 2, 4 teilt 4, 6 teilt 2.... 1000 teilt 2. D.h. die Hälfte von 1000 teilt 2, also 500 Zahlen? Selbiges gilt für Zahl 3 oder? D.h. 333. ? |
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| 30.10.2014, 20:56 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja, das stimmt nicht. 
War aber sicherlich das richtige gemeint. 500 ist jedenfalls richtig.Und auch die 333. |
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| 30.10.2014, 21:00 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, ich meinte teilt 2, nicht teilt 4
Noch eine Frage hinterher: Was ist denn dann | A geschnitten C | ? Bleiben dann 300 Elemente über oder wie? |
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| 30.10.2014, 21:03 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es muss heißen: 2 teilt 4, 2 teilt 6, ..., 2 teilt 1000. ist die Menge aller Zahlen kleiner/gleich 1000, die durch 2 und 5 teilbar sind, also durch ...? Wie kommst du auf 300 Elemente? |
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| 30.10.2014, 21:17 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, ich hab noch einmal nachgedacht und komme auf 100. Bei B geschnitten C komm ich aber nicht drauf. Wie viele Elemente haben diese beiden Mengen gemeinsam? Wie rechnet man das aus? Gibt es ein Rezept?^^ Ich vermute 111, bin aber nicht sicher, kannst du mal bestätigen oder ablehnen? Danke! |
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| 30.10.2014, 21:20 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, denn enthält genau die durch 10 teilbaren Zahlen kleiner/gleich 1000.
Du kannst dir genauso wie oben überlegen: enthält alle Zahlen die durch 3 und 5 teilbar sind, also genau die durch ... teilbaren Zahlen.
Nein, das sind zu viele. 
Ich habe übrigens oben nochmal die Definitionen der Mengen A, B und C geändert (bzw. etwas ergänzt), die haben nicht gestimmt. |
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| 30.10.2014, 21:33 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also die 15 teilen und letzteres die 30 teilen, komme dann auf 66 Elemente und 33 Elemente, ist das richtig? Muss jetzt nur noch alles aufaddieren dann, Ja danke dass du mir das sagst! Natürlich muss n kleiner gleich 1000 gelten! Ich habe noch eine kleine Frage, gibt es eine logische Erklärung dafür warum man 2*5 rechnet um die Elemente zu finden, die 2 und 5 teilen? Gibt es da einen Satz oder ähnliches der dies besagt, dass wenn a | b und c, dann ist a | b * c? |
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| 30.10.2014, 21:52 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Deine Zahlen stimmen. Auf welches Gesamtergebnis kommst du dann? Wenn und gilt, muss n alle Primfaktoren von und enthalten (jeweils mindestens in der größten Potenz, die in a oder b vorkommt). 2 und 5 sind Primzahlen; d.h. damit n durch 2 und 5 teilbar ist, muss n die Primfaktoren 2 und 5 enthalten, also mit einer natürlichen Zahl k. Damit ist durch 10 teilbar. So zeigt man also Die andere Richtung sollte klar sein. Es gilt also ; deswegen enthält genau die durch 10 teilbaren Zahlen. |
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| 31.10.2014, 08:21 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, ich komme dann auf ein Gesamtergebnis von 900, da ich ja die Zahlen ausgerechnet habe, die 1000 durch die oben genannten teilen muss ich noch 1000-900 rechnen, komme dann auf 100 Zahlen, die nicht durch 2,3 oder 5 geteilt werden. Stimmt das?
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| 31.10.2014, 08:44 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das stimmt nicht. Anscheinend hast du vergessen, zu subtrahieren. Wenn du das noch machst, kommst du auf das richtige Ergebnis. |
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| 31.10.2014, 11:48 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hab nocheinmal nachgerechnet, 266? |
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| 31.10.2014, 11:50 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, stimmt.
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| 31.10.2014, 11:55 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Super! Vielen Dank! Dabei hab ich noch das Einschließungs und Ausschließungsprinzip verstanden! |
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| 31.10.2014, 12:06 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gern geschehen.
Übrigens gibt es dieses Prinzip auch für mehr als 3 Mengen, siehe Prinzip von Inklusion und Exklusion. |
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