Lebesgue-Maß

30.10.2014, 20:13

Mathemus

Lebesgue-Maß

Meine Frage:
Hallo Leute.
Ich habe folgende Aufgabenstellung:
A ist eine Lebesgue-messbare Menge

Beweisen oder widerlegen sie:Sei $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \empty \end{eqnarray*}$
So gilt $\begin{eqnarray*} A offen \Rightarrow \lambda (A)>0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe bereits Schwirigkeiten mit der Definition des Lambdas, da dies so nicht in der Vorlesung vorkommt. Wir haben lediglich $\begin{eqnarray*} \lambda ^{*} \end{eqnarray*}$ definiert als das äußere Lebesgue-Maß. Von daher bin ich zunächst davon ausgegangen, dass es sich um die einfache Definition des Lebesgue-Maß handelt. Nämlich [a1,b1)x[a2,b2)x.....
Davon ausgehend würde ich vermuten, dass $\begin{eqnarray*} \lambda (A)=(a-b)>0 \end{eqnarray*}$ mit a>b ist, wenn A ein offenes Intervall ist(Was ja aus mehr als einem Punkt besteht und nicht abzählbar ist). Wäre das der richtige Lösungsansatz? Muss A überhaupt ein Intervall sein, oder kann es auch eine Vereinigung aus Intervallen sein, mit einer Umgebung, die diese trennt?
Wäre über jede Hilfe sehr dankbar smile

Liebe Grüße

01.11.2014, 14:37

steviehawk

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RE: Lebesgue-Maß
Beachte, dass sich jede offene Menge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als Vereinigung offener Intervalle schreiben lässt.

Wäre nett, wenn du bescheid gibst ob du es geschafft hast, bzw. ob der Tipp hilfreich war Wink

03.11.2014, 13:59

Mathemus

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Hey

Ich habs dann so gemacht:
Da A offen ist lässt sich A auch folgendermaßen schreiben:
$\begin{eqnarray*} \bigcup (a_{i},a_{i}) \end{eqnarray*}$ , sodass die Intervalle disjunkt sind.
So würde sich ergeben, dass $\begin{eqnarray*} \lambda (A)=(b_{1} -a_{1} )+(b_{2} -a_{1} ).... \end{eqnarray*}$ .
Und das ist, da b>a ist auch größer Null.
Hoffe ich habs jetzt Big Laugh

03.11.2014, 15:14

steviehawk

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Zitat:

Original von Mathemus

$\begin{eqnarray*} \bigcup (a_{i},a_{i}) \end{eqnarray*}$

Nicht so günstig, die obere und die untere Grenze mit dem selben Indice zu versehen. Dass die Intervalle disjunkt sind muss nicht unbedingt gelten. Das brauchst du glaube ich auch nicht. Das Maß ist in der Regel subadditiv. Das heißt, es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lambda (\bigcup_{i=1}^n (a_i,b_i)) \leq \sum_{i=1}^n \lambda ((a_i,b_i)) \end{eqnarray*}$

Da dein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ offen ist, muss mindestens eines der Intervalle $\begin{eqnarray*} (a_i,b_i) \end{eqnarray*}$ ein ich sage mal echtes offenes Intervall sein, also mit $\begin{eqnarray*} a_i \neq b_i \end{eqnarray*}$ . Für dieses muss das Maß dann einen positiven Wert annehmen.

So 100% sicher bin ich mir jetzt aber auch nicht mehr; vielleicht schaut noch einer der Mods da drüber Big Laugh

viele Grüße

03.11.2014, 15:25

HAL 9000

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Eigentlich muss man sich gar nicht mit irgendwelchen Vereinigungen und Indizes rumschlagen - es reicht die Eigenschaft, dass Maße monoton sind, d.h. aus $\begin{align*} A\subset B \end{align*}$ folgt $\begin{align*} \lambda(A)\leq \lambda(B) \end{align*}$ .

" $\begin{align*} A \end{align*}$ offen" heißt: Mit jedem $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ gibt es auch eine Umgebung $\begin{align*} U_{\varepsilon}(x) = (x-\varepsilon,x+\varepsilon) \end{align*}$ , die vollständig in $\begin{align*} A \end{align*}$ enthalten ist.

Im vorliegenden Fall haben wir $\begin{align*} A\neq \emptyset \end{align*}$ , also existiert ein $\begin{align*} x_0\in A \end{align*}$ , und dazu dann ein passendes $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ von der Offen-Eigenschaft mit $\begin{align*} (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \subset A \end{align*}$ . Die Maß-Monotonie liefert dann

$\begin{align*} 2\varepsilon = \lambda((x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)) \leq \lambda(A) \end{align*}$

fertig.

03.11.2014, 15:41

steviehawk

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Danke für den Hinweis HAL 9000 Wink

04.11.2014, 21:29

Mathemus

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Vielen Dank für die Hilfe smile

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