Ungleichungen mit komplexen Zahlen

30.10.2014, 23:04	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen mit komplexen Zahlen Meine Frage: Hallihallo allerseits, ich habe mich an einer Übungsaufgabe festgefahren, die mir einfach nicht gelingen will. Sie lautet: "Man berechne alle imaginären Zahlen z (Realteil von z ist 0), die die Beziehung $\begin{eqnarray} \|z-(-4+j)\|\geq 5 \end{eqnarray}$ erfüllen." Die Lösung hierfür lautet: $\begin{eqnarray} z = x+yj\Rightarrow \|(x+4)+(y-1)j\|\geq 5 \end{eqnarray}$ : Kreis um M(-4/1) mit dem Radius 5; Schnittpunkt mit imaginären Achsen: Realteil $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ ; Imaginärteil $\begin{eqnarray} y_{1}\geq 4;y_{2}\leq -2 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: a) Ich habe nun als allererstes die Kreisgleichung aufgestellt: $\begin{eqnarray} 5^{2}\geq (x+4)^{2}+(y-1)^{2} \end{eqnarray}$ Mein Mittelpunkt ist also M(-4/1) und mein Radius r = 5. b) Dann habe ich versucht das Ganze über die Ungleichung zu berechnen... und ich nehme an, dass mein Fehler entweder darin liegt, dass ich keine Fallunterscheidung (wegen des Betrages?) aufgestellt habe oder darin, dass ich meine Ungleichung falsch umgeformt habe (oder auch beides ). $\begin{eqnarray} \|x+y+4-j\|\geq 5<br /> \|(0+4)+(yj-j)\|\geq 5<br /> \sqrt{(0+4)^{2}+(y-1)^{2}}\geq 5<br /> 5+y-\sqrt{2y}\geq5<br /> y-\sqrt{2y}\geq0<br /> y\geq\sqrt{2y}<br /> y^{2}\geq2y<br /> y\geq 2 \end{eqnarray}$ Sooo, ich komme folglich nur auf ein (falsches!) y, was mir eigentlich schon zeigt, dass ich unbedingt eine Fallunterscheidung aufstellen MUSS. Da ich hier allerdings mit komplexen Zahlen operiere und dann auch noch x und y als Variablen in meiner Ungleichung habe, macht es das Chaos in meinem Kopf komplett. Außerdem ist mein Ungleichheitszeichen falsch. Ich habe also an irgendeiner Stelle übersehen, es umzudrehen (oder es liegt an der fehlenden Fallunterscheidung des Betrages?)... Ich sitze nun schon eine gute Stunde an dieser Aufgabe, aber nichts Ordentliches will sich mir so recht erschließen. Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Lieben Dank im Vorraus!
30.10.2014, 23:58	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umformung von der dritten zur vierten Zeile ist ziemlich merkwürdig, um nicht zu sagen katastrophal.
31.10.2014, 00:06	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich! Ich habe nicht darauf geachtet, die Summe zu bilden, BEVOR ich die Wurzel ziehe. Gut, dann probiere ich es nun erst einmal anderweitig weiter. Sollte ich wieder an meine Grenzen stoßen, lass ich hier sicherlich nochmals von mir hören.

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