Quadratzerlegungszahlen |
| 30.10.2014, 23:21 | Pumuckl122 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Quadratzerlegungszahlen Welche natürlichen Zahlen sind "Quadratzerlegungszahlen" (QZZ)? Eine natürliche Zahl n heißt QZZ, wenn es eine Zerlegung eines Quadrates in n (nicht notwendig kongruente, d. h. gleich große) Teilquadrate gibt. Z. B. sind klarerweise alle Quadratzahlen auch QZZ, aber auch z. B. 13 ist eine QZZ. Welche natürlichen Zahlen sind QZZ, welche nicht? Begründung! Ich würde mich über Hilfe freuen! Danke! |
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| 30.10.2014, 23:28 | EM-Algo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey, hast du 13 selber rausgefunden oder war das in der Aufgabe vorgegeben? Wie könnte man denn eine andere QZZ bilden? LG |
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| 31.10.2014, 10:54 | Pumuckl122 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, dass du dich der Sache annimmst. Ich habe das mal für einige Zahlen probiert und es ging für fast alle. Für 2,3 und 5 ist es nicht möglich. Geschafft habe ich schon 1,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18,19,22 Die Frage ist ob es nun für alle natürlichen Zahlen außer 2,3 und 5 geht. Da fehlt mir aber noch eine stichhaltige Begründung. |
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| 31.10.2014, 13:08 | EM-Algo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey also: 2: 16+9=25 3: 4+4+1=9 5: 16+9+9+1+1 Es geht für diese drei Zahlen also auch. Ich vermute, dass man die Frage welche Zahlen QZZ sind nur mit Zahlentheorie lösen kann. Bist du mit dem Thema vertraut? |
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| 31.10.2014, 13:23 | Pumuckl122 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tatsächlich! Dann wird es wohl für alle natürlichen Zahlen gehen. Ich habe eine Vorlesung über Zahlentheorie besucht, ja! Aber ich wüsste jetzt nicht, inwiefern ich mein Wissen nutzen soll um dies zu beweisen. |
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| 31.10.2014, 13:30 | EM-Algo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, ich habe mal recherchiert :-D. Für n>5 gibt es eine Konstruktionsvorschrift. Für 1,2,3,4 und 5 haben wir Beispiele gefundne. Damit geht es also für alle natürlichen Zahlen! Lg |
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| 31.10.2014, 13:45 | Pumuckl122 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habe mir gedacht, dass es eine Art Konstruktionsvorschrift gibt. Kannst du sie nennen oder zumindest einen Tipp geben, wie man drauf kommen kann? |
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| 31.10.2014, 14:26 | EM-Algo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4373/68480.html Der dritte Post beschreibt, wie man ein Einheitsquadrat in n>5 Quadrate Zerlegen kann. Ich wandle es mal etwas ab, sodass es für Zahlen anwendbar ist: Wenn n gerade ist: Beispiel n=8 Wähle n/2=4 kleine Quadrate m={1,4,9,...}. Wähle weitere n/2-1=3 gleichgroße Quadrate. Wähle ein großes Quadrat ((n/4-1)*Wurzel(m))^2! Für m z.B.: 4*9+3*9+((8/4-1)*Wurzel(9))^2=36+27+81=144 Algemein: n ist gerade, dann ist (n/2)*m+(n/2-1)*m+((n/2-1)*Wurzel(m))^2 eine Quadratzahlzerlegung, wobei m eine beliebige Quadratische Zahl ist. Wenn man das zusammenfasst kommt man für das Ergebnis auf (n*n)/(2*2)*m. Daraus sieht man leicht, dass diese Zahl selbst wieder ein Quadrat ist, welches in n Teilquadrate zerlegt wurde. Kannst du vielleicht für den ungeraden Fall mithilfe meines Anhangs die Vorschrift aufstellen? LG |
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| 31.10.2014, 14:32 | EM-Algo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es muss natürlich heißen: Wenn n gerade ist: Beispiel n=8 Wähle n/2=4 kleine Quadrate m={1,4,9,...}. Wähle weitere n/2-1=3 gleichgroße Quadrate. Wähle ein großes Quadrat ((n2/-1)*Wurzel(m))^2! Für m z.B.: 4*9+3*9+((8/2-1)*Wurzel(9))^2=36+27+81=144 |
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| 31.10.2014, 20:55 | Pumuckl122 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Cool, danke! Zum Verständnis der Formel: Die Zerlegung ist so gewählt, dass immer n Teilquadrate herauskommen. Die Frage ist, ob die Formel ein Quadrat widergibt, dass sich aus diesen Teilquadraten zusammen setzt, d. h. ob die Summe der Teilquadrate wieder ein Quadrat und nicht etwa nur ein Rechteck ist. Dadurch, dass der Wert der Formel immer eine Quadratzahl ist, ist dies gewährleistet. Das "Gesamt-Quadrat" wird dann nämlich aus so vielen kleinen Quadraten ("Einheiten") "aufgebaut", wie es dem Wert der Formel entspricht. Dabei können mehrere "Einheiten" zu größeren Quadraten zusammengefasst werden (siehe auch dein Bild). Und da die Anzahl dieser Einheiten wieder eine Quadratzahl ist, hat das "Gesamt-Quadrat" als Seitenlängen jeweils die Anzahl der Einheiten gegeben durch die Wurzel des Wertes aus der Formel und dieser ist aus den natürlichen Zahlen, weil der Wert eine Quadratzahl ist. Zum ungeraden Fall: Prinzipiell muss man das "Gesamt-Quadrat" in vier gleich große Quadrate unterteilen. Drei davon lasst man unberührt, beim vierten verfährt man wie im geraden Fall. Das ist möglich, weil man dieses Quadrat in nur noch n-3 Quadrate unterteilen muss und n-3 ist immer eine gerade Zahl wenn n ungerade ist. Zur konkreten Formel: Neben den geraden Fall kommen noch hinzu "Einheiten" hinzu. Insgesamt sind es dann "Einheiten" und das ist wieder eine Quadratzahl. |
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| 31.10.2014, 23:49 | EM-Algo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein da ist leider noch nen kleiner Fehler drin: n=7, m=1. Damm lautet das richtige Ergebnis 16, bei dir wäre es 49. Die Struktur ist richtig, zeig mir mal deinen Ansatz, dann kann ich dir vielleicht nen Hinweis geben. LG |
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| 01.11.2014, 09:25 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich dachte, es geht um die Geometrie, also Quadrate im geometrischen Sinn, und nicht um Quadratzahlen im algebraischen Sinn:
Insofern gehören 2, 3 und 5 nicht zu QZZ. |
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| 01.11.2014, 13:35 | EM-Algo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im geometrischen Sinn geht es für 2,3 und 5 nicht das stimmt. Da in der Aufgabe auch von "Kongruenz" gesprochen wird, sind damit die geometrischen Quadrate und nicht die algebraischen Quadrate gemeint. Da habe ich nicht aufgepasst. Für n>5 gelten dann die obigen Zerlegungen, wobei man den Flächeninhalt des resultierenden Quadrates aus m und n bestimmen kann. Wenn gewünscht kann ich die ausführlichen Beweise noch mal posten. Für das Missverständnis möchte ich mich gern entschuldigen. LG |
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| 01.11.2014, 14:16 | Pumuckl122 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tatsächlich! Der Fehler ist der, dass ich für den geraden Fall weiter mit n gerechnet habe, aber das geht ja nicht. Man muss weiter rechnen mit Dann liefert der gerade Fall das Ergebnis Das bescheribt die Anzahl der "Einheiten" in einem der vier Teilquadrate. Diese Anzahl muss in jedem der vier Teilquadrate gleich sein, d. h. das korrekte Ergebnis für den ungeraden Fall ist dann Du hast gemeint, dass man den Flächeninhalt durch m und n beschreiben kann. Ist der Flächeninhalt nicht genau für den ungeraden Fall bzw. für den geraden Fall? Muss man noch etwas zusätzlich beweisen, oder ist diese "Überprüfung", dass es Quadratzahlen sind ausreichend? |
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| 01.11.2014, 14:50 | EM-Algo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau die beiden Lösungen sind richtig. Ja im Allgemeinem läufts bei Quadraten ja andersrum. Du hast ein großes und willst es Zerlegen. Das bedeutet m richtet sich nach der Größe des Ausgangsquadrat. Wir haben bisher andersrum gedacht: gibt es überhaupt eine Möglichkeit aus n quadratishen Zahlen eine neue Quadratzahl zu erzeugen? Die Überlegungen sind die gleichen nur das du von der anderen Seite anfangen müsstest. Aber deine Ausgangsfrage ist eigentlichen schon beantwortet. Wir können aber gerne den geometrischen Fall noch einmal genauer betrachten. LG |
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| 01.11.2014, 21:12 | Pumuckl122 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Frage habe ich aber auch noch: Woher wissen wir, dass die Zerlegungen für alle natürlichen Zahlen größer als 5 gelten? Wie wir sehen gelten die Formeln für 2,3 und 5 nicht, weil das Ergebnis offensichtlich nicht stimmt. Kann es dann nicht möglich sein, dass die Formel auch für z. B. 277 nicht stimmt? Wie ist das sichergestellt? Bzw. was ist die Begründung, warum es ausgerechnet für 2,3 und 5 nicht klappt? Gibt es im geometrischen Fall noch etwas zu beachten, weil du gemeint hast ihn genauer zu betrachten? |
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| 01.11.2014, 23:31 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit einer Zahl a ist auch jede Zahl eine QZZ. Hast du also drei aufeinander folgende QZZ, dann weißt du, dass alle größeren Zahlen ebenfalls QZZ sind. |
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| 02.11.2014, 00:35 | Pumuckl122 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aha. Da blicke ich jetzt nicht ganz durch. Warum gerade mod 3? Kannst du das vielleicht näher begründen? Danke! |
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| 02.11.2014, 00:43 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst bei einer existierenden Zerlegung in x Quadrate ein Quadrat in 4 kleinere zerlegen. Die Zahl der Quadrate bei der neuen Zerlegung ist also x+3. Damit ist auch induktiv eine Zerlegung in x+3k Quadrate möglich. |
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| 02.11.2014, 11:36 | Pumuckl122 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aja, klar! Eigentlich liefert dies auch eine kürzere Antwort auf meine ursprüngliche Frage. Es war ja nur die Frage, welche natürlichen Zahlen QZZ sind und welche nicht. Wenn ich Zerlegungen für die Zahlen 6, 7 und 8 finde, dann ist nach deiner Aussage jeder weitere Zahl eine QZZ. Für 1 und 4 findet man ebenfalls Zerlegungen, für 2,3 und 5 nicht. Da muss man eigentlich nicht mit diesen Formeln arbeiten, nicht? |
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| 03.11.2014, 21:13 | EM-Algo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein muss man auch nicht, damit kann man aber direkt z.B. die Flächen der einzelnen Quadrate angeben oder einen geschlossenen Beweis führen oder (woher sie auch stammen) eine Konstruktionsvorschrift anwenden. Es gibt häufig mehrere Lösungen zum gleichen Problem. Je nach Fragestellung ist die eine geeigneter als die andere. |
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| 06.11.2014, 16:33 | Pumuckl122 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank für deine Hilfe! |
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