Grenzwertbildung (Landau-Symbole)

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Voldi Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbildung (Landau-Symbole)
Heyho! Ich steh gerade mal wieder total auf dem Schlauch. Aufgabe ist folgende:

Zeige, dass für alle gilt:



Soo, ja. Also mangels besserer Ideen wollte ich das über den Grenzwert machen, also



Viel weiter komme ich aber schon nicht. Da ich als Grenzwert 0 herausbekommen will, müsste ich irgendwie das e aus dem Zähler loswerden, sonst komme ich ja bestenfalls auf .
Ich wüsste aber nicht, wie ich es (zB durch l'Hospital) so hinbiegen könnte, dass ich das rauskürzen könnte.
Ich würde jetzt wirklich gerne noch mehr eigene Ideen beisteuern, aber die hab ich momentan nicht unglücklich

Vielleicht findet sich ja jemand, der Denkanstöße verteilen mag Hammer
aleos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbildung (Landau-Symbole)
Du kannst ja mit L'Hospital zeigen, dass sich lediglich der Nenner vergrößert und der Zähler gleich bleibt. Und das auch nach x-fachen Ableiten.

Z.B.:


Und dann kannst du daraus schließen, dass der Nenner immer weiter wächst, während der Zähler konstant bleibt.
Natürlich müsste die Argumentation noch formal niedergeschrieben werden.
Voldi Auf diesen Beitrag antworten »

Klingt schonmal irgendwie sinnvoll. Danke Big Laugh
Formal aufschreiben ist zwar nicht meine Stärke, aber wird schon klappen.
Voldi Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, mal schauen wie weit ich komme...

-> l'Hospital anwenden, Ableitungen bilden









Durch 1x ableiten ist also bloß der rechte Term dazugekommen.
Wenn ich das ganze jetzt noch mal ableite, kommt von dem linken noch mal der rechte Term dazu und der (erste) rechte Term abgeleitet ist



Durch 2x ableiten ergibt sich also sowas:


Da x eine Konstante ist, ist der rechte Term abgeleitet und durch die Ableitung vom linken Term kommt wieder ein dazu.
D.h, zwischen der 1., 3., 5., 7., ... Ableitung ändert sich nichts als der konstante Faktor im Nenner. Nach unendlich Ableitungen haben wir also noch den Faktor im Nenner dazubekommen (dazu -> zur 1. Ableitung).
Für x>1 konvergiert das ganze also schnell gegen 0. Aber was machen wenn x zB 1/1000 ist? Dann würde diese Rechnung doch sogar zeigen, dass das ganze für solche Zahlen gegen laufen würde, oder? Hab mich bestimmt irgendwo verrechnet?
Voldi Auf diesen Beitrag antworten »

Thema hat sich erledigt, hab die Lösung. Statt kann man auch einfach benutzen (einfach umformen), und dann muss man nur noch zeigen, dass gilt, was relativ trivial ist.

Danke trotzdem! smile
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dass gilt

Was falsch ist, du meinst aber auch Augenzwinkern
 
 
aleos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
Zitat:
dass gilt

Was falsch ist, du meinst aber auch Augenzwinkern


Ich blicks gerade nicht. Was ist der Unterschied zwischen deiner Schreibweise und der von Voldi?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Er hat ein statt dem im Logaritmus stehen.
Voldi Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt natürlich, Macht der Gewohnheit Hammer
aleos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
Er hat ein statt dem im Logaritmus stehen.


Ahja, natürlich. Vor lauter Buchstaben ... den Wald nicht gesehen smile
Danke.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum eigentlich so kompliziert, mit L'Hospital und dem ganzen nachfolgenden Brimborium da oben ? Es ist doch ganz einfach

.

Offenbar gilt wegen für genügend große dann , also kann man für diese weiter abschätzen

für .
Voldi Auf diesen Beitrag antworten »

Hat einfach etwas gedauert bis ich auf gekommen bin. Daher hatte ich keine andere Idee als das so kompliziert zu machen.

Nachdem ich drauf gekommen bin, fand ich meinen Ansatz (mein vierter Post im Thread) aber doch ehrlich gesagt einfacher als deinen ^^" aber so gehts auch, stimmt natürlich.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Voldi
Nachdem ich drauf gekommen bin, fand ich meinen Ansatz (mein vierter Post im Thread) aber doch ehrlich gesagt einfacher als deinen ^^

Ach ja? Inwiefern einfacher? verwirrt

Du hast es ja nicht genau ausgeführt, aber dass du gerade diesen Hilfgrenzwert angibst, da beschleicht mich der Verdacht, dass du sehr merkwürdige Potenzgesetze bei der Umformung benutzt hast. Wäre schön, wenn du diesen meinen Verdacht ausräumen könntest.
Voldi Auf diesen Beitrag antworten »



Müsste mich schon sehr täuschen, wenn da was nicht stimmen sollte. verwirrt
Dass ich mich da verschrieben hatte und ich statt natürlich meinte, hattest du gelesen?

Auf bin ich gekommen durch Logarithmieren von , rechteres hattest du ja auch angegeben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und was kommt raus, wenn man logarithmiert?
Voldi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du schon so fragst, wohl was anderes? ^^

Aber gilt nicht generell wenn ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da du jetzt abzulenken versuchst, war mein Verdacht, dass du



gerechnet hast, wohl doch zutreffend. Ist ja auch in deinem Interesse, dass dieser Fauxpas korrigiert wird.

Zitat:
Original von Voldi
Aber gilt nicht generell wenn ?

Das ist i.a. falsch: Nehmen wir und sowie und das ganze für

Dann ist , aber es ist . unglücklich
Voldi Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt nicht, ich habe statt einfach betrachtet. Wenn ich jetzt so drüber nachdenke, war das wohl etwas vorschnell. Forum Kloppe
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