Norm unter Homöomorphismus invariant

31.10.2014, 09:02	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Norm unter Homöomorphismus invariant Meine Frage: Hallo Leute, ich habe eine kurze Frage Wenn ich einen Homöomorphismus $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^{n+1} \to \mathbb R^{n+1} \end{eqnarray}$ habe. Nun nehme ich Vektoren der Norm 1 zum Beispiel $\begin{eqnarray} \mathbb S^n \end{eqnarray}$ haben dann die Vektoren aus $\begin{eqnarray} f(\mathbb S^n) \end{eqnarray}$ auch die Norm 1? Meine Ideen: Danke für die Hilfe
31.10.2014, 09:05	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, natürlich nicht. Multiplikation mit einer beliebigen nicht verschwindenden Zahl ist ja auch ein Homöomorphismus.
31.10.2014, 09:44	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tmo, vielen Dank für den Hinweis.. Ich bearbeite gerade folgende Aufgabe, bei welcher ich nicht weiter komme.. Wir betrachten die folgende Inversionsabbildung: $\begin{eqnarray} h: \mathbb R^{n+1} \setminus \{ p\} \to \mathbb R^{n+1} \setminus \{ p\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(x) = p + \frac{2(x-p)}{\|x-p\|^2} \end{eqnarray}$ hierbei ist $\begin{eqnarray} p = (0,0,...,0,1) \in \mathbb R^{n+1} \end{eqnarray}$ der Nordpol der Einheitssphäre $\begin{eqnarray} \mathbb S^n \end{eqnarray}$ Ich habe schon gezeigt, dass h ein Homöomorphismus ist, für den gilt $\begin{eqnarray} h \circ h = id \end{eqnarray}$ Nun soll ich zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray} h(\mathbb S^n \setminus \{ p\}) = \{ x \in \mathbb R^{n+1} \| x_{n+1} = 0 \} \end{eqnarray}$ sicherlich muss ich ausnutzen, dass die Norm vom euklidischen Skalarprodukt induziert ist. Für die Spähre gilt ja: $\begin{eqnarray} \mathbb S^n = \{x \in \mathbb R^{n+1} \| \|\|x\|\| = 1 \} \end{eqnarray}$ dabei ist $\begin{eqnarray} \|\|x\|\| = 1 \Leftrightarrow <x,x> = 1 \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht, warum nun die Betrachtung von $\begin{eqnarray} <h(x),h(x)> \end{eqnarray}$ weiter hilft, wenn die Norm ja nicht invariant ist?? (Man sieht, dass $\begin{eqnarray} <h(x),h(x)> = 1 \end{eqnarray}$ gilt für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_{n+1} = 0 \end{eqnarray}$ ) Kannst du mir da weiter helfen? Danke
31.10.2014, 09:55	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst durch stupides Nachrechnen zeigen, dass für $\begin{align} x \in \mathbb S^n \setminus \{p\} \end{align}$ gilt: $\begin{align} h(x) = \frac{x-x_{n+1}p}{1-x_{n+1}} \end{align}$ . Daraus kann man dann die Behauptung sehr schnell zeigen.
31.10.2014, 12:57	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, stupides Nachrechnen würde wohl auch funktionieren, aber ich glaube ich sehe jetzt warum das andere auch fuktioniert.. Ich soll ja zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray} h(\mathbb S^n \setminus \{ p\}) = \{ x \in \mathbb R^{n+1} \|x_{n+1} = 0 \} \end{eqnarray}$ dies ist aber äquivalent zu der Aussage: $\begin{eqnarray} \mathbb S^n \setminus \{ p\}= h(\{ x \in \mathbb R^{n+1} \|x_{n+1} = 0 \}) \end{eqnarray}$ nun weiß ich, dass für jeden Vektor im Bild von $\begin{eqnarray} h(\{ x \in \mathbb R^{n+1} \|x_{n+1} = 0 \}) \end{eqnarray}$ gelten muss: $\begin{eqnarray} \|\|x\|\| = 1 \end{eqnarray}$ , wobei dieses x jetzt eigentlich ein $\begin{eqnarray} h(x) \end{eqnarray}$ ist, da es auch dem Bild stammt. Es muss also gelten: $\begin{eqnarray} \|\|h(x)\|\| = 1 \Leftrightarrow <h(x),h(x)> = 1 \end{eqnarray}$ das ist erfüllt, wenn $\begin{eqnarray} x_{n+1} = 0 \end{eqnarray}$ gilt. (kann man nachrechnen) Was garantiert mir dann, dass auch auch die ganze Spähre bekomme und nicht nur ein Teil der Spähre? Danke für die Hilfe

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