Norm unter Homöomorphismus invariant

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Norm unter Homöomorphismus invariant
Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe eine kurze Frage

Wenn ich einen Homöomorphismus habe. Nun nehme ich Vektoren der Norm 1 zum Beispiel haben dann die Vektoren aus auch die Norm 1?

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, natürlich nicht. Multiplikation mit einer beliebigen nicht verschwindenden Zahl ist ja auch ein Homöomorphismus.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tmo,

vielen Dank für den Hinweis..

Ich bearbeite gerade folgende Aufgabe, bei welcher ich nicht weiter komme..

Wir betrachten die folgende Inversionsabbildung:

mit

hierbei ist der Nordpol der Einheitssphäre

Ich habe schon gezeigt, dass h ein Homöomorphismus ist, für den gilt

Nun soll ich zeigen, dass gilt:

sicherlich muss ich ausnutzen, dass die Norm vom euklidischen Skalarprodukt induziert ist.

Für die Spähre gilt ja: dabei ist

Ich verstehe nicht, warum nun die Betrachtung von weiter hilft, wenn die Norm ja nicht invariant ist?? (Man sieht, dass gilt für mit )

Kannst du mir da weiter helfen?

Danke Wink
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst durch stupides Nachrechnen zeigen, dass für gilt:

.

Daraus kann man dann die Behauptung sehr schnell zeigen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

gut, stupides Nachrechnen würde wohl auch funktionieren, aber ich glaube ich sehe jetzt warum das andere auch fuktioniert..

Ich soll ja zeigen, dass gilt:



dies ist aber äquivalent zu der Aussage:

nun weiß ich, dass für jeden Vektor im Bild von gelten muss: , wobei dieses x jetzt eigentlich ein ist, da es auch dem Bild stammt.

Es muss also gelten:

das ist erfüllt, wenn gilt. (kann man nachrechnen)

Was garantiert mir dann, dass auch auch die ganze Spähre bekomme und nicht nur ein Teil der Spähre?

Danke für die Hilfe
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