Norm unter Homöomorphismus invariant |
31.10.2014, 10:02 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » |
Norm unter Homöomorphismus invariant Hallo Leute, ich habe eine kurze Frage Wenn ich einen Homöomorphismus habe. Nun nehme ich Vektoren der Norm 1 zum Beispiel haben dann die Vektoren aus auch die Norm 1? Meine Ideen: Danke für die Hilfe |
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31.10.2014, 10:05 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, natürlich nicht. Multiplikation mit einer beliebigen nicht verschwindenden Zahl ist ja auch ein Homöomorphismus. |
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31.10.2014, 10:44 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo tmo, vielen Dank für den Hinweis.. Ich bearbeite gerade folgende Aufgabe, bei welcher ich nicht weiter komme.. Wir betrachten die folgende Inversionsabbildung: mit hierbei ist der Nordpol der Einheitssphäre Ich habe schon gezeigt, dass h ein Homöomorphismus ist, für den gilt Nun soll ich zeigen, dass gilt: sicherlich muss ich ausnutzen, dass die Norm vom euklidischen Skalarprodukt induziert ist. Für die Spähre gilt ja: dabei ist Ich verstehe nicht, warum nun die Betrachtung von weiter hilft, wenn die Norm ja nicht invariant ist?? (Man sieht, dass gilt für mit ) Kannst du mir da weiter helfen? Danke |
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31.10.2014, 10:55 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du kannst durch stupides Nachrechnen zeigen, dass für gilt: . Daraus kann man dann die Behauptung sehr schnell zeigen. |
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31.10.2014, 13:57 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » |
gut, stupides Nachrechnen würde wohl auch funktionieren, aber ich glaube ich sehe jetzt warum das andere auch fuktioniert.. Ich soll ja zeigen, dass gilt: dies ist aber äquivalent zu der Aussage: nun weiß ich, dass für jeden Vektor im Bild von gelten muss: , wobei dieses x jetzt eigentlich ein ist, da es auch dem Bild stammt. Es muss also gelten: das ist erfüllt, wenn gilt. (kann man nachrechnen) Was garantiert mir dann, dass auch auch die ganze Spähre bekomme und nicht nur ein Teil der Spähre? Danke für die Hilfe |
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