Kreissehnen

31.10.2014, 11:03	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreissehnen Hallo! Würde mich über Hilfestellung bei folgender Aufgabe freuen! Gegeben ist ein Kreis mit Radius r. Zeige, dass bei jedem orthogonalen Sehenpaar im Kreis die Summe der Quadrate der Sehnenabschnittslängen konstant ist: $\begin{eqnarray} a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = K^{2} \end{eqnarray}$ Welchen Wert hat die Konstante K? Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll? Ich könnte noch ein Bild herzeigen, aber wo kann ich es hochladen? Danke!
31.10.2014, 11:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterstellt, der Satz wäre richtig, dann gälte er auch im Spezialfall, daß die beiden Sehnen Durchmesser sind. Damit kannst du die zu erwartende Konstante $\begin{align} K \end{align}$ schon einmal vorweg bestimmen.
31.10.2014, 11:39	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine gute Idee! Okay, dann ist die Behauptung, dass $\begin{eqnarray} K=2r \end{eqnarray}$ Jetzt sollte man wohl vom Spezialfall auf den allgemeinen Fall schließen können. Das scheint mir knifflig
31.10.2014, 12:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das wie in einem kartesischen Koordinatensystem machen. Nennen wir die Abschnitte der ersten Sehne $\begin{align} a,b \end{align}$ und die der zweiten $\begin{align} c,d \end{align}$ . Um was der eine Abschnitt größer als die Hälfte $\begin{align} p \end{align}$ bzw. $\begin{align} q \end{align}$ der Sehnenlänge ist, ist der andere kleiner, also $\begin{align} a = p+s \, , \ b = p-s \end{align}$ $\begin{align} c = q+t \, , \ d = q-t \end{align}$ oder mit jeweils umgekehrten Vorzeichen bei $\begin{align} s \end{align}$ bzw. $\begin{align} t \end{align}$ . Mache dir mit diesen Bezeichnungen eine Zeichnung. Jetzt berechne mit diesen Ausdrücken $\begin{align} a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \end{align}$ . Denke an die binomischen Formeln und den alten Griechen.
31.10.2014, 12:52	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mir das mal angeschaut und komme dann auf $\begin{eqnarray} 2(p^{2} + s^{2} + q^{2} + t^{2}) \end{eqnarray}$ Betrachtet man die Zeichnung, so folgt aus dem Satz von Pythagoras dann $\begin{eqnarray} p^{2} + t^{2} = r^{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q^{2} + s^{2} = r^{2} \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} K = 2r \end{eqnarray}$ . Das gilt, weil die senkrechten "Halbierungsgeraden" der Sehnen durch den Mittelpunkt gehen und sich dort schneiden. Dadurch entsteht ein Rechteck mit Seitenlängen t und s und damit ist sichergestellt, dass die Katheten des untersuchten Dreiecks (mit Hypotenuse r) tatsächlich p und t bzw. q und s sind. Ist die Begründung zulässig und sollte man diese verbessern? Auf jeden Fall danke für die Hilfe!
31.10.2014, 17:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Paßt.
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31.10.2014, 17:41	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe!

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