Quersummenregel

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Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »
Quersummenregel
Hi, brauche nochmal Hilfe!

Ich soll zeigen, dass eine Zahl a in natürlichen Zahlen genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist...

Ich habe keine Idee wie man das beweist, ich möchte auch gerne selber mal darauf kommen mit ein wenig Hilfe.

Ideen: Ich kann a als a als

Wie beweise ich das jetzt?
Sei a | 3. Kann mir jemand jetzt eine Idee geben?
Ich habe mal die Behauptung auch nachgeprüft, die stimmt.
3 teilt 3, 6 teilt 3, ... , 12 teilt 3, quersumme von 12 ist 3, und quersumme(12) teilt 3.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quersummenregel
Zitat:
Original von Schattenklinge
3 teilt 3, 6 teilt 3, ... , 12 teilt 3, quersumme von 12 ist 3, und quersumme(12) teilt 3.

Schon wieder das gleiche Problem mit der Formulierung wie in dem Thread über das Ein- und Ausschließungsprinzip: Es muss lauten "3 teilt 3, 3 teilt 6, 3 teilt 12, ..."

Zitat:
Original von Schattenklinge
Sei a | 3.

Du willst doch voraussetzen, dass a durch 3 teilbar ist; da schreibt man dann .

Tipp: Es ist
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja, entschuldigung, das fiel mir auch auf, aber konnte es dann nicht mehr ändern...

Also ist mein oben genannter Ausdruck:



Jetzt ist die Quersumme ja definiert als

Da besteht Gleichheit, wenn ich mich nicht irre...?

Also muss deren Summe von auch wieder durch 3 teilbar sein? War es das schon? geschockt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schattenklinge
Also ist mein oben genannter Ausdruck:



Man sollte von "Äquivalenz modulo 3" sprechen:

D.h. die Zahl (linke Seite) ist genau dann durch 3 teilbar, wenn es die Quersumme (rechte Seite) ist.
Und das war's dann schon. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Schattenklinge
Also muss deren Summe von auch wieder durch 3 teilbar sein?

Was willst du damit sagen? Dass die Summe einer durch 3 teilbaren Zahl und ihrer Quersumme wieder durch 3 teilbar ist? Das stimmt zwar, hat aber mit dem Beweis eigentlich nichts zu tun. Man könnte es höchstens als Folgerung daraus ansehen.
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Was? So einfach ist das?

Wegen Kongruenz ist die linke seite genau dann durch 3 teilbar, wenn die rechte durch 3 teilbar ist? Genügt das denn schon?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Na klar, wieso nicht?
 
 
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke!

Ich habe aber noch eine Frage zum ggT, möchte nicht noch einen Thread aufmachen und zwar:

Man kann den ggT folgendermaßen berechnen:



Sei m eine natürliche Zahl.
Nehmen wir an, ich möchte jetzt ggT von 24^{34} und 244^{311} berechnen, wie stelle ich das an?
Kann ich da auch einfach sagen: 24^{34} kongruent zu m und 244 kongruent zu m. Dann beide Zahlen primfaktorzerlegen und jeweils das Minimum von den beiden herausziehen?

Oder wie genau gehe ich mit dieser Formel um?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind denn die ? Und wovon soll das der ggT sein?
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es sollte heißen, das sind alle primzahlen die m oder n teilen.

k_j und l_j sollen die Zahlen a und b sein von ggt(a,b)

Generell gefragt möchte ich wissen, wie ich den ggT mit dieser Formel berechne, ich muss doch beide Zahlen auf Primzahlen zerlegen und dann gucken welche sie gemeinsam haben, deren Minimum von der beiden Mengen ist dann ggT von a und b?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schattenklinge
k_j und l_j sollen die Zahlen a und b sein von ggt(a,b)

Und was soll das bedeuten?

Meinst du vielleicht folgendes:
Wenn und mit paarweise verschiedenen Primzahlen , dann ist

Beispiel:


Man nimmt für den ggT jede Primzahl in der höchsten Potenz, die in beiden Zahlen a und b vorkommt.
.
Schattenklinge Auf diesen Beitrag antworten »

Jaaa genau!

Wenn ich also den ggT mit dieser Methode von a := 255^200 und b:= 333^513 berechnen möchte, muss ich 255 und 333 in primfaktoren zerlegen und dann die gemeinsamen primzahlen nehmen, davon das Minimum?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Mathe_H. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte zu diesem Thread noch eine Frage:

Ist der ganze Beweis lediglich die nachfolgende Zeile?



Vielen Dank :-)
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ein paar Worte darf man dazu schon noch verlieren. Augenzwinkern Z.B. warum diese Äquivalenz überhaupt gilt (weil ) und dass dann daraus folgt, dass eine Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn es ihre Quersumme ist.
SarahK. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mich gerne noch zu diesem Thema einklinken:

Die Aufgabenstellung ist so ziemlich die Gleiche: Beweisen Sie, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Wenn ich es richtig verstehe:









Das wäre dann ausreichend für den Quersummenbeweis?

Besten Dank ;-)
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das war's schon. Der Beweis für Teilbarkeit durch 9 ist exakt derselbe wie bei Teilbarkeit durch 3 (nur dass man überall 3 durch 9 ersetzen muss). Augenzwinkern
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