Zeigen, dass die Folge eine Nullfolge ist

31.10.2014, 15:39

crushiii

Zeigen, dass die Folge eine Nullfolge ist

Guten Tag zusammen,

ich bin neu hier (habe gerade begonnen, Mathe und Informatik zu studieren) und stoße bei einer Aufgabe auf ein kleines Problemchen, bei dem ich mir sicherlich zu viele Gedanken mache, die nicht nötig sind.
Daher wollte ich hier mal nachfragen (lese des Öfteren andere Threads und hier findet man immer wieder kompetente Hilfe Augenzwinkern

)

Hier die Aufgabe:

Zeigen Sie, dass ... eine Nullfolge ist:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{q^n}{n!} , q \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich aus der Vorlesung folgendes bezüglich der Folge $\begin{eqnarray*} q^k \end{eqnarray*}$ :
1) für $\begin{eqnarray*} q = o \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0
2) für $\begin{eqnarray*} q = 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 1
3) für $\begin{eqnarray*} q = -1 \end{eqnarray*}$ divergiert (-1 für k - ungerade / 1 für k - gerade)
4) für $\begin{eqnarray*} q > 1 \end{eqnarray*}$ divergiert (komischer Beweis, den ich noch nicht nachvollziehen konnte)
5 für $\begin{eqnarray*} q < 1 \end{eqnarray*}$ divergiert (auch komischer Beweis, nicht ganz verstanden - Prof wohl auch nicht Big Laugh

)

Jetzt war meine erste Idee, die ich aber wieder verwerfen musste, dass ich den Bruch auseinander schreibe:

$\begin{eqnarray*} q^n \cdot \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$
Somit könnte ich ja sagen, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge...mein Problem wäre, was dann mit dem Rest ist.

Also nach den Grenzwertsätzen kann ich ja sagen, dass wenn ich die Fälle 1) & 2) habe, dass ich eine Nullfolge bekomme.
Aber was ist dann mit dem Rest? Die Grenzwertsätze (soweit ich sie bisher gelesen und verstanden habe) gelten für konvergente Folgen, nicht für divergente. Daher habe ich da ein Problem!

Jetzt hatte ich noch eine andere Idee, indem ich einfach mal die Folge schreibe:
$\begin{eqnarray*} \frac{q}{n} \cdot \frac{q}{n-1} \cdot \frac{q}{n-2} \cdot \ldots \cdot \frac{q}{2} \cdot \frac{q}{1} \end{eqnarray*}$

Aber wirklich was gewinne ich immer noch nicht, wenn ich mir das so ansehe.

Hat jemand nen Tipp, wo ich hier weitermachen kann?
Wäre super lieb!

Beachtet bitte:
Ich will KEINE Lösung!!!!!!!!!!!! Ich möchte es gerne alleine schaffen, aber Hilfestellung soll wohl in Ordnung sein Augenzwinkern

Vielen Dank im voraus an alle Helfer!

Schönen Freitag euch allen smile

31.10.2014, 15:51

bijektion

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Du kannst ja erstmal o.B.d.A. annehmen, dass $\begin{eqnarray*} |q|> 1 \end{eqnarray*}$ ist, alle anderen Fälle sind leicht zu erledigen mit der Abschätzung $\begin{eqnarray*} |b_n|\leq \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Aber was ist dann mit dem Rest? Die Grenzwertsätze (soweit ich sie bisher gelesen und verstanden habe) gelten für konvergente Folgen, nicht für divergente

Richtig.

Zitat:

Jetzt hatte ich noch eine andere Idee, indem ich einfach mal die Folge schreibe: $\begin{eqnarray*} \frac{q}{n} \cdot \frac{q}{n-1} \cdot \frac{q}{n-2} \cdot \ldots \cdot \frac{q}{2} \cdot \frac{q}{1} \end{eqnarray*}$

Du weißt $\begin{eqnarray*} q>1 \end{eqnarray*}$ fest. Es gibt sicherlich eine Zahl $\begin{eqnarray*} N_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} q<N \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} N>N_0 \end{eqnarray*}$ .
Damit kannst du dann abschätzen.

31.10.2014, 16:16

crushiii

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Hey,
danke für deine Antwort.

Da tun sich mir neue Fragen auf:
Wie kann ich (also generell) entscheiden, wann ich o.B.d.A etwas annehme?
Habe mal etwas gegoogelt und in Erfahrung gebracht, dass ich das bei Beweisen machen kann, wenn ich analoge Beweisschritte in einem zeige oder damit triviale (wie hier q=0, q=1) direkt mit einschließe.
Kann ich das immer machen?
(Habe mit Beweisen ein wenig Probleme, aber nach den paar Wochen wäre es auch ein Wunder, wenns zu 100% super klappt).

Also kann ich erstmal annehmen, dass $\begin{eqnarray*} |q| > 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Die anderen Fälle kann ich gegen $\begin{eqnarray*} |b_n| \le \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ abschätzen?
Wo kommen denn auf einmal die Betragsstriche her und wie komm ich darauf, die Nullfolge gegen die ganze abzuschätzen?
Muss ich damit dann diesen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Beweis oder wie sich das nennt führen?

In der Übung sagte der Tutor, der Beweis wäre total einfach.
Es gibt da noch eine zweite Aufgabe, die ist ähnlich, nur dass n! dann im Zähler steht und unten was anderes (hab den Zettel grad nicht da).

Ich würde jetzt im nächsten Schritt versuchen, ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu finden (in Bezug auf ein $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ und dann den Beweis zu machen, so wie bei einfacheren Folgen, wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Mir ist nur noch nicht ganz klar, wie ich so eins bekomme.

Bisher würde ich erst den Grenzwert bestimmen, damit ich den in $\begin{eqnarray*} |a_n - a| \end{eqnarray*}$ einsetzen kann und dann rate ich rum Big Laugh

31.10.2014, 16:25

bijektion

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Zitat:

Wie kann ich (also generell) entscheiden, wann ich o.B.d.A etwas annehme?

Generell gibt es keine Regel, das kommt natürlich auf die spezielle Situation an.

Zitat:

Kann ich das immer machen?

Nein.

Zitat:

Also kann ich erstmal annehmen, dass $\begin{eqnarray*} |q| > 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Ja, und wir können sofort mit $\begin{eqnarray*} q>1 \end{eqnarray*}$ rechnen, im Fall $\begin{eqnarray*} q<-1 \end{eqnarray*}$ haben wir ja nur das $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ davor stehen, das kann aber bei einer Nullfolge auch nichts ausrichten.

Zitat:

Wo kommen denn auf einmal die Betragsstriche her und wie komm ich darauf, die Nullfolge gegen die ganze abzuschätzen?

$\begin{eqnarray*} |a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist äquivalent mit $\begin{eqnarray*} -\varepsilon<a_n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ , wenn du allgemein Grenzwerte untersuchst, sieht das ja auch irgendwie $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ so aus.

Zitat:

Muss ich damit dann diesen $\begin{eqnarray*} \epsilon - Beweis \end{eqnarray*}$ oder wie sich das nennt führen?

$\begin{eqnarray*} \varepsilon-n_0 \end{eqnarray*}$ oder ähnliches.

Zitat:

Ich würde jetzt im nächsten Schritt versuchen, ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu finden (in Bezug auf ein $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ und dann den Beweis zu machen, so wie bei einfacheren Folgen, wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Ja, genau.

Zitat:

Bisher würde ich erst den Grenzwert bestimmen, damit ich den in $\begin{eqnarray*} |a_n - a| \end{eqnarray*}$ einsetzen kann und dann rate ich rum Big Laugh

Ich mache nichts andere, daher kommen die Betragsstriche. Ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} b_n\to_{n\to\infty} 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Jetzt zum eigentlichen:

Zitat:

Es gibt sicherlich eine Zahl $\begin{eqnarray*} N_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} q<N \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} N>N_0 \end{eqnarray*}$ .

Ist dir das klar?
Wichtig ist, das du die Zahl $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ sofort wählen kannst, wenn du nur $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ kennst.

31.10.2014, 17:57

crushiii

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Zitat:

Original von bijektion
Jetzt zum eigentlichen:

Zitat:

Es gibt sicherlich eine Zahl $\begin{eqnarray*} N_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} q<N \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} N>N_0 \end{eqnarray*}$ .

Ist dir das klar?
Wichtig ist, das du die Zahl $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ sofort wählen kannst, wenn du nur $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ kennst.

Nein, mir ist das nicht ganz klar.
Aber das ist generell bei dieser Beweisform so, weil der Abstraktionsgrad noch nicht transparent genug ist.
Sagen wir mal so:
Wenn wir eine Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ beweisen und nehmen dann sowas wie $\begin{eqnarray*} N_0 > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ für den Beweis, indem wir den Satz von Archimedes (oder so ähnlich) nutzen, dann leuchtet mir das wohl ein.

Aber in diesem Fall habe ich ein q, welches >1 ist. Na klar wird es ein N geben, das größer ist als dieses q, aber ich kenn beide nicht. Da fehlt mir dann ehrlich gesagt der Bezug zu etwas greifbarem.
Das Prinzip ist mir ja einigermaßen klar geworden.

Ich habe eine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Umgebung und muss nachweisen, dass die Folgenglieder dort drinbleiben. Von daher betrachtet man $\begin{eqnarray*} a - \epsilon \le x \le a + \epsilon \end{eqnarray*}$ ...also auch den Teil der Definition:
$\begin{eqnarray*} | a_n - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich habe ja meine Definition:
Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass für jedes $\begin{eqnarray*} N > n_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} | a_N - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich, dass ich eine Nullfolge zeigen soll (also Grenzwert ist 0).
Somit habe ich $\begin{eqnarray*} | a_n - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich würde dann $\begin{eqnarray*} | q^N| < \epsilon \end{eqnarray*}$ nachweisen müssen.

In der Vorlesung haben wir das mit der Bernoulli-Ungleichung gemacht (aber da haben wir ja für q>1 die Divergenz durch Widerspruch gezeigt), daher bringt mir dieser Beweis doch gar nich viel.
Ich muss das also im Ganzen machen.
Daher meinte ich eingangs, dass mir das Auseinanderziehen des Bruches doch gar nichts bringt.

Verstehst du mein Problem? Big Laugh

31.10.2014, 18:05

bijektion

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Zitat:

Wenn wir eine Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ beweisen und nehmen dann sowas wie $\begin{eqnarray*} N_0 > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ für den Beweis, indem wir den Satz von Archimedes (oder so ähnlich) nutzen, dann leuchtet mir das wohl ein.

Machen wir hier genau so. Das

Zitat:

Da fehlt mir dann ehrlich gesagt der Bezug zu etwas greifbarem.

Dann betrachte als Beispiel ein $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Daher meinte ich eingangs, dass mir das Auseinanderziehen des Bruches doch gar nichts bringt.

Du sollst erstmal das machen was ich eben vorgeschlagen habe...

31.10.2014, 21:01

crushiii

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Oki, ich suche eine Zahl, die größer als q ist.
Da fiele mir gerade nur die Definition für einen archimedisch angeordneten Körper ein.

Wenn ich ein $\begin{eqnarray*} N_0 >0 \end{eqnarray*}$ habe und ein beliebiges y. Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x \cdot N_0 > y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N_0, x \in \mathbb{N}, y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Wobei y mein q wäre.
So hätte ich auf jeden Fall eine Zahl, die größer als ein beliebiges q ist.

Hilft mir das weiter?

Einmal eine generelle Frage.
Du sprichst die ganze Zeit über das q. Aber wenn ich ein q > 1 wähle, dann divergiert die Folge doch.
Ich muss doch jetzt irgendwie alles in einen Topf werfen.

Sorry, wenn ich mich ein bissel blöd anstelle Augenzwinkern

01.11.2014, 09:47

bijektion

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Zitat:

ki, ich suche eine Zahl, die größer als q ist.

Ich weiß nicht wo hier dein Problem ist. Wir nehmen einfach an, dass für alle $\begin{eqnarray*} N>N_0 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} q<N \end{eqnarray*}$ gilt. Die Existenz dieses $\begin{eqnarray*} N_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist aus bereits genannten Gründen gesichert.
Dein Beweis sollte so abgeändert werden:
Beweis. Sei $\begin{eqnarray*} q>1 \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} q>x>0 \end{eqnarray*}$ und nach dem Archimedischen Axiom existiert eine Zahl $\begin{eqnarray*} N_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} N_0\cdot x=N_0>q \end{eqnarray*}$ . Das war zu zeigen.

Zitat:

So hätte ich auf jeden Fall eine Zahl, die größer als ein beliebiges q ist.

Gut, und offenbar erfüllt jede größere natürliche Zahl diese Eigenschaft auch.

Zitat:

Du sprichst die ganze Zeit über das q. Aber wenn ich ein q > 1 wähle, dann divergiert die Folge doch.

Dann divergiert $\begin{eqnarray*} (q^n)_n \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} (\frac{q^n}{n!})_n \end{eqnarray*}$ . Das ist genau das, was wir zeigen wollen.

Zitat:

Ich muss doch jetzt irgendwie alles in einen Topf werfen.

Das machen wir jetzt. Sei also $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt müssen wir ein $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ finde, sodass $\begin{eqnarray*} \forall n>\mathcal{N}_0 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \frac{q^n}{n!}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt.
Erstmal nutzen wir $\begin{eqnarray*} \frac{q^n}{n!}= \underbrace{\frac{q}{n}\cdot\dots\cdot\frac{q}{1}}_{\text{n}} \end{eqnarray*}$ .
Ich schlage außerdem vor, mindestens $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}_0>N_0 \end{eqnarray*}$ zu wählen.
Kannst du jetzt schon weiter machen?

01.11.2014, 14:28

crushiii

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Nee sorry, so ganz komm ich da leider noch nicht mit....weiß gar nicht, warum mir das grad so schwer fällt.
Ich gebe mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \epsilon > \frac{2}{n+3 + \frac{1}{n^4}} \end{eqnarray*}$
Dann rechne ich rum und finde raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\epsilon} -3 < n \end{eqnarray*}$

So wird mir das klar, also wenn ich auf ein n "auflösen" kann.
In diesem Fall komm ich auf gar nichts.
Hab das ähnlich versucht, aber da kommt nichts bei raus, was mir weiterhilft.

02.11.2014, 09:00

bijektion

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Wenn für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} b_n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt und außerdem ist bekannt, das für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist doch klar, dass auch $\begin{eqnarray*} a_n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ oder?

D.h. wir können erst abschätzen.

Zitat:

Ich gebe mal ein Beispiel: $\begin{eqnarray*} \epsilon > \frac{2}{n+3 + \frac{1}{n^4}} \end{eqnarray*}$

Hier z.B.: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n+3 + \frac{1}{n^4}}\leq \frac{2}{n}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ , was viel leichter zu lösen ist.

Jetzt machen wir das in der Folge $\begin{eqnarray*} (\frac{q^n}{n!})_n \end{eqnarray*}$ völlig analog. Sei $\begin{eqnarray*} n=1+N_0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{q}{n}<1 \end{eqnarray*}$ und du kannst $\begin{eqnarray*} c:=\frac{q^{n-1}}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$ setzen.
Was weißt du nun über $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ?

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