Gleichheit zweier Integrale

31.10.2014, 16:26

r4ndom19

Gleichheit zweier Integrale

Hallo,

ich möchte die Gleichheit folgender Integrale zeigen:
$\begin{eqnarray*} \int_A \! \frac{1}{\sqrt{2 \pi x}*exp(\frac{x}{2} ) } \, d\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{X^{-1} (A)} \! \frac{1}{\sqrt{2 \pi }*exp(\frac{x^{2}}{2} ) } \, d\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X:\mathbb R ->\mathbb R , x|->x^{2} \end{eqnarray*}$
Wobei
$\begin{eqnarray*} A\subseteq \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$ Borel messbar.
Lambda bezeichnet das Lebesgue-Maß

Ich habe es bereits mit dem Transformationssatz versucht, treffe aber auf folgendes Problem:

$\begin{eqnarray*} \int_A \! \frac{1}{\sqrt{2 \pi x}*exp(\frac{x}{2} ) } \, d\lambda <br /> =\int_{X^{-1}(A)} \! \frac{2}{\sqrt{2 \pi }*exp(\frac{x^{2}}{2} ) } \, d\lambda <br /> \end{eqnarray*}$
Es ist also ein Faktor 2 zu viel. Wo habe ich einen Fehler gemacht?

31.10.2014, 20:12

Leopold

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RE: Gleichheit zweier Integrale

Zitat:

Original von r4ndom19
Es ist also ein Faktor 2 zu viel.

Der ist nicht zu viel. Er paßt da genau hin.

Edit
Ah, ich sehe gerade, daß du $\begin{align*} X \end{align*}$ als Funktion $\begin{align*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{align*}$ betrachtest. Das Urbild der Menge $\begin{align*} A \end{align*}$ besteht dann aus $\begin{align*} \sqrt{A} \end{align*}$ und $\begin{align*} - \sqrt{A} \end{align*}$ , was den Faktor $\begin{align*} 2 \end{align*}$ wieder auffrißt.

31.10.2014, 21:18

r4ndom19

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RE: Gleichheit zweier Integrale
Eine Frage, wie rechtfertigt sich das ganze dann durch den Transformationssatz? Bzw. wie fliegt die 2 raus?

31.10.2014, 22:27

HAL 9000

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Der Transformationssatz ist nur für bijektive Abbildungen geeignet.

Aber $\begin{align*} x\mapsto x^2 \end{align*}$ ist als Abbildung $\begin{align*} \mathbb{R}\to \mathbb{R}^+ \end{align*}$ nicht bijektiv, allenfalls die eine "Hälfte", also als Abbildung $\begin{align*} \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+ \end{align*}$ .

So musst du es also betrachten, und die andere Hälfte $\begin{align*} \mathbb{R}^- \end{align*}$ per Symmetrie nachrüsten, was dann eben zu jenem Faktor 2 führt, wie Leopold es schon erwähnt hatte.

01.11.2014, 10:12

r4ndom19

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Aber meine Menge A ist doch positiv?
Sind die Integrale dann einfach nicht gleich, von denen es gezeigt werden soll?

01.11.2014, 10:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von r4ndom19
Aber meine Menge A ist doch positiv?

Ein Einwand der Kategorie "Nachts ist es kälter als draußen.". unglücklich

Nochmal: Deine Abbildung $\begin{eqnarray*} X:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht bijektiv, dabei ist es sch...egal, ob die Bildmenge (!) $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ positiv ist oder nicht.

01.11.2014, 11:31

r4ndom19

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Ok, und wie "biegt" man das ganze auf eine korrekte Form?
Intuitiv würde ich sagen das A einfach "verdoppelt" wurde da man für jedes
$\begin{eqnarray*} x\in A=> X^{-1}(x)=\pm \sqrt(x) \end{eqnarray*}$ hat.
Aber generell sind ja die Voraussetzungen für die Transformationssatz gar nicht gegeben. Was tut man in einem solchen Fall. Denn irgendwie sollen die obigen Integrale wohl gleich und nicht proportional sein unglücklich

01.11.2014, 12:11

HAL 9000

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Also nochmal ganz, ganz ausführlich: Du betrachtest die Abbildung

$\begin{align*} X:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^+ \end{align*}$ mit $\begin{align*} X(x)=x^2 \end{align*}$ ,

die wegen $\begin{align*} (-x)^2 = x^2 \end{align*}$ erkennbar nicht bijektiv ist.

Um den Transformationssatz anwenden zu können, schränken wir den Definitionsbereich auf die nichtnegativen reellen Zahlen ein, d.h. wir betrachten

$\begin{align*} Y:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+ \end{align*}$ mit $\begin{align*} Y(x)=x^2 \end{align*}$ ,

diese Abbildung ist nun bijektiv, und über $\begin{align*} X^{-1}(A) = Y^{-1}(A) \cup (-Y^{-1}(A)) \end{align*}$ ist der Zusammenhang zwischen beiden Urbildern hergestellt (dabei meine ich wie üblich mit $\begin{align*} (-B) \end{align*}$ die Menge $\begin{align*} (-B):=\{ -x \bigm| x\in B\} \end{align*}$ ). Da der Integrand des transformierten Integrals nun aber eine gerade Funktion ist, folgt unmittelbar

$\begin{align*} \int\limits_{-B} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) ~ \dd\lambda(x) = \int\limits_{B} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) ~ \dd\lambda(x) \end{align*}$ , insgesamt also

$\begin{align*} \int\limits_{B\cup (-B)} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) ~ \dd\lambda(x) = 2\cdot \int\limits_{B} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) ~ \dd\lambda(x) \end{align*}$

für $\begin{align*} B=Y^{-1}(A) \end{align*}$ .

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