Minorante/Majorante

31.10.2014, 19:44	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Minorante/Majorante Hallo, ich habe eine Frage, ob ich das so richtig gemacht habe: a) KONVERGIERT $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^ \infty \frac{sin(n)²}{2^n} \leq \sum\limits_{n=1}^ \infty \frac{1}{2^n} \leq 1<br /> <br /> \sum\limits_{n=1}^ \infty \frac{1}{2^n} =\frac{1}{1-\frac{1}{2} } -1=1<br /> <br /> 0\leq sin(n)²\leq 1 \end{eqnarray}$ b) DIVERGENT (HARMONISCHE REIHE) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{1+n²} \geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\frac{1}{n} +n}\geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\frac{1}{n} }{1+\frac{1}{n}}\geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\frac{1}{n} }{1+1}=\frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ c) DIVERGENT (ich glaube n muss bei 1 anfangen oder?) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (1+\frac{1}{n} )^n= \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{n+1}{n} )^n\geq \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{n}{n} )^n=\sum\limits_{n=1}^\infty (1 )^n=1+1+1+1+1+1....(TRIVIALKRITERIUM) \end{eqnarray}$ d) KONVERGENT (GEOMETRISCHE REIHE) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-1}{1+2^n} )\leq \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-1}{2^n} )\leq -1<br /> \end{eqnarray}$ Stimmt das? [attach]35899[/attach]
31.10.2014, 20:53	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
a), b) und c) sind richtig. (wobei du bei b das erste $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ -Zeichen auch durch ein $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ -Zeichen ersetzen kannst). Die Abschätzung bei d) stimmt nicht; du musst das negative Vorzeichen beachten.
01.11.2014, 13:13	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, danke für das Korrigieren! Könnte man d) vielleicht so anschreiben? $\begin{eqnarray} -1 \leq \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-1}{2^n} )\leq \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-1}{1+2^n} )\leq \sum\limits_{n=1}^\infty \|(\frac{-1}{1+2^n} )\| \leq \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{1+2^n} )\leq \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{2^n} )\leq 1 \end{eqnarray}$
01.11.2014, 13:51	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Die ersten beiden Abschätzungen brauchst du eigentlich gar nicht. Übrigens kannst du auch einfach das Minus vor das Summenzeichen ziehen, und dann hast du eine geometrische Reihe.

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