Dirac-Delta-Distribution

31.10.2014, 20:33	Kreis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dirac-Delta-Distribution Ich habe eine Aufgabe zur Fouriertransformation (Ich soll einen Sinus Fourier-transformieren). In der Musterlösung wird erklärt, dass man dazu etwas Äquivalentes zur Dirac-Delta-Distribution einsetzen kann. Nur verstehe ich nicht wie man darauf gekommen ist. Ich definiere mal die Fouriertransformation wie folgt: $\begin{eqnarray} F(f(x), k):= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \cdot e^{-ikx} \, \dd x \end{eqnarray}$ Also meine Frage ist: Wie kommt man darauf dass: $\begin{eqnarray} \delta(\omega)= \frac{1}{2 \pi}\int_{}^{} \! e^{-i\omega t} \, \dd t \end{eqnarray}$ ??? Vielleicht kann mir jemand helfen.
01.11.2014, 19:46	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dirac-Delta-Distribution Betrachte mal $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty f(\omega)\cdot\left(\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-\mathrm i\omega t}\,\dd t\right)\,\dd\omega \end{eqnarray}$ und nutze die Formel zur inversen Fourier-Transformation.
02.11.2014, 00:44	Kreis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dirac-Delta-Distribution Schauen wir mal: Die Inverse-Fouriertransformation wäre, wenn ich mich jetzt nicht täusche, folgende: $\begin{eqnarray} F^{inv}(f(k), x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(k) \cdot e^{ikx} \, \dd k \end{eqnarray}$ OK. Jetzt betrachte ich mal das was du mir da gepostet hast... $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(\omega) \cdot \frac{1}{ 2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \! \cdot e^{-i\omega t} \, \dd t \, \dd \omega = \int_{-\infty}^{\infty} \! f(\omega) \cdot \frac{1}{ 2 \pi} g(\omega) \, \dd \omega = \frac{1}{ 2 \pi} \cdot Konstante \end{eqnarray}$ Mmm benutzen wir mal die Inverse-Fouriertransformation: $\begin{eqnarray} \Rightarrow F^{inv}(f^(k), x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \! (\frac{1}{ 2 \pi} \cdot Konstante ) \cdot e^{ikx} \, \dd k = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = Konstante \frac{1}{ix \sqrt{8 \pi^2}} \cdot e^{ik \infty} - Konstante \frac{1}{ix \sqrt{8 \pi^2}} \cdot e^{ik (-\infty)}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{Konstante}{ix \sqrt{8 \pi^2}} \cdot e^{ik \infty} - 0 = \frac{Konstante}{ix \sqrt{8 \pi^2}} \cdot e^{ik \infty} \end{eqnarray*}$ Ähm und Jetzt?
02.11.2014, 09:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann forme ich lieber nochmal zu $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty f(\omega)\cdot\left(\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-\mathrm i\omega t}\,\dd t\right)\,\dd\omega=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(\omega)\mathrm e^{-\mathrm i\omega t}\,\dd\omega\,\dd t \end{eqnarray}$ um.

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