Lokalisierung

31.10.2014, 23:12	planlos93	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokalisierung Meine Frage: Folgende Aufgabe bereitet mir leider Probleme: Es sei R ein Ring und $\begin{eqnarray} s\in R \end{eqnarray}$ . Wir nennen $\begin{eqnarray} R_{s} := R\left[T\right] /\left(sT-1\right) \end{eqnarray}$ die Lokalisierung von R an s. Man zeige, dass $\begin{eqnarray} R_{s}=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ gilt, genau dann wenn $\begin{eqnarray} s\in R \end{eqnarray}$ nilpotent ist. Meine Ideen: Zur Rückrichtung habe ich schon einige Überlegungen angestellt, aber die Hinrichtung will leider gar nicht klappen. Folgendes habe ich bis jetzt zur Rückrichtung: Nach Vorraussetzung gilt, dass s nilpotent ist. Sei nun k der Nilpotenzgrad von s. $\begin{eqnarray} \Rightarrow s^{k-1} \left(sT-1\right) \Rightarrow -s^{k-1}\in \left(sT-1\right) <br /> \Rightarrow -s^{k-1}T\in \left(sT-1\right)<br /> \Rightarrow s^{k-2}\left(sT-1\right)-s^{k-1}T= s^{k-1}T-s^{k-1}T-s^{k-2}= s^{k-2} \in \left(sT-1\right)<br /> \Rightarrow -s^{k-2}T\in \left(sT-1\right)<br /> \Rightarrow s^{2}T \in \left(sT-1\right)<br /> \Rightarrow s\left(sT-1\right)-s^{2}T= s^{2}T-s^{2}T-s= -s \in \left(sT-1\right)<br /> \Rightarrow -sT \in \left(sT-1\right)<br /> \Rightarrow sT-1-sT= -1 \in \left(sT-1\right)<br /> \Rightarrow 1\in \left(sT-1\right)<br /> \Rightarrow \left(sT-1\right)= R\left[sT\right]<br /> \Rightarrow R_{s} = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand sagen, wie ich die Hinrichtung angehen kann? Danke schon mal für die Tipps
31.10.2014, 23:41	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Man kann beide Richtungen der Aussage sehen, in dem man bemerkt, dass $\begin{eqnarray} sT-1 \end{eqnarray}$ genau dann eine Einheit ist, wenn $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ nilpotent ist. (bzw die Richtung $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ nilpotent impliziert $\begin{eqnarray} R_s=0 \end{eqnarray}$ sieht man auch schnell an $\begin{eqnarray} 1= 1^k = (sT)^k = 0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} R_s \end{eqnarray}$ ) Eine Methode zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} sT-1 \end{eqnarray}$ Einheit ist genau dann wenn $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ nilpotent, die mir spontan einfällt, wäre wohl $\begin{eqnarray} R[T] \end{eqnarray}$ in den Potenzreihenring $\begin{eqnarray} R[\|T\|] \end{eqnarray}$ einzubetten. Da hat $\begin{eqnarray} sT-1 \end{eqnarray}$ immer ein eindeutiges Inverses (geometrische Reihe) und man sieht sofort, dass dieses genau dann in $\begin{eqnarray} R[T] \end{eqnarray}$ liegt, wenn $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ nilpotent ist. Grüße
31.10.2014, 23:46	planlos93	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Das werde ich gleich ausprobieren

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