Rekursive Folge

01.11.2014, 14:32	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge Hallo, hier ein schönes Bsp. bei dem ich mir nicht sicher bin. Reihenglieder: $\begin{eqnarray} x_{1}=2 <br /> x_{2}=\sqrt3<br /> x_{3}=\sqrt{ \sqrt{12}-1} \end{eqnarray}$ 31a) $\begin{eqnarray} 2x_{n} -1\geq 0<br /> 2x_{n}\geq 1<br /> x_{n} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Wird dann im Bsp. 32a) bewiesen das x_n immer größer als 1/2 ist. 31b) $\begin{eqnarray} x_{n+1} \leq x_{n} \Rightarrow x_{n+2} \leq x_{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{n+2} =\sqrt{2x_{n+1}-1 } \leq \sqrt{2x_{n}-1 }=x_{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x_{n+1}-1 \leq 2x_{n}-1 \end{eqnarray}$ (+1;/2) $\begin{eqnarray} x_{n+1} \leq x_{n} \end{eqnarray}$ q.e.d. 32a) Annahme: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} x_{n} =1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_{n+1} =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{2 \cdot 1-1}=\sqrt{1} =1=x_{n+1} \end{eqnarray}$ q.e.d. 32b) Jede Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Was ist falsch oder muss mehr bewiesen werden? [attach]35907[/attach]
02.11.2014, 01:16	trara	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zu 32 a ,b, a) ist richtig nur wenn ein GW existiert, falls er nicht existiert, müssen die 2 lim nicht übereinstimmen.. damit ist b) noch zu beweisen. (üblicherweise macht man das umgekehrt, b vor a) benutze eine monoton fallende folge, die eine untere Schranke besitzt ist konvergent. in 31b benutzt du a) was noch nicht gezeigt ist. ich sehe nicht wie es aus dem 32a) folgt. d.h. du hast noch was zu tun. z.B eine untere Schranke finden . Gruß trara.

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