Vektor aus Länge für Vektorgleichung

01.11.2014, 15:14

kausal

Auf diesen Beitrag antworten »

Vektor aus Länge für Vektorgleichung

Hallo,

folgende Aufgabe - stehe da etwas auf dem Schlauch.

Die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ besitzen jeweils die Länge 2 und erfüllen die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (2\vec{a} - 3\vec{b} ) \cdot (2\vec{a} + \vec{b} )=-4 \end{eqnarray*}$

Wie groß ist das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ ?
Welchen Winkel schließen $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ ein?

Ich hab jetzt erst mal überlegt wie Vektoren mit der Länge 2 aussehen könnten und die einfachsten möglichkeiten wären

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \pm 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \pm 2 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \pm 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe dann sämtliche Kombinationen in die Gleichung eingesetzt und geschaut ob sie Wahr wird. Zum Einen scheint das eine ziemlich unelegante Lösung zu sein und zum Anderen trifft es für keinen meiner Vektoren zu, somit stoße ich hier ans Ende mit meiner Methode.

Jetzt ist die Frage, wie komme ich denn auf die gesuchten Vektoren? Gibt es da einen Trick? Ein Denkanstoß wäre nett.

Grüße

01.11.2014, 15:37

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektor aus Länge für Vektorgleichung
Rechne das Skalarprodukt auf der linken Seite von $\begin{eqnarray*} (2\vec{a} - 3\vec{b} ) \cdot (2\vec{a} + \vec{b} )=-4 \end{eqnarray*}$ aus.

01.11.2014, 15:59

kausal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektor aus Länge für Vektorgleichung

Zitat:

Original von URL
Rechne das Skalarprodukt auf der linken Seite von $\begin{eqnarray*} (2\vec{a} - 3\vec{b} ) \cdot (2\vec{a} + \vec{b} )=-4 \end{eqnarray*}$ aus.

Wie soll ich das denn ohne die Elemente von den Vektoren machen?
Weil so wie es da jetzt ja steht wäre es

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a_1-3b_1 \\ 2a_2-3b_2 \\ 2a_3-3b_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2a_1+b_1 \\ 2a_2+b_2 \\ 2a_3+b_3\end{pmatrix} = - 4 \end{eqnarray*}$

Und das wäre

$\begin{eqnarray*} (4a_1^{2} -4a_1b_1 -3b_1^2)+(4a_2^{2} -4a_2b_2 -3b_2^2)+(4a_3^{2} -4a_3b_3 -3b_3^2)=-4 \end{eqnarray*}$

was mich nicht wirklich weiter bringt.

Grüße

01.11.2014, 16:07

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektor aus Länge für Vektorgleichung
Das Skalarprodukt hat gewisse Eigenschaften, z.B. ist es kommutativ, es gilt aber auch das Distributivgesetz

01.11.2014, 16:27

kausal

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mag ja sein, verstehe nur nicht was mir das bringen soll. verwirrt

verwirrt

01.11.2014, 16:29

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht würde es helfen, wenn du einfach mal das Distributivgesetz anwendest
Edit: Im Grunde hast du das hier $\begin{eqnarray*} (4a_1^{2} -4a_1b_1 -3b_1^2)+(4a_2^{2} -4a_2b_2 -3b_2^2)+(4a_3^{2} -4a_3b_3 -3b_3^2)=-4 \end{eqnarray*}$ schon gemacht - allerdings in so unglücklicher Weise, dass man nicht viel sieht. Verzichte auf die Zerlegung in Komponenten und verwende einfach nur
$\begin{eqnarray*} x\cdot(y+z)=x\cdot y +x\cdot z \end{eqnarray*}$

Anzeige

01.11.2014, 17:22

kausal

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stehe echt völlig auf dem Schlauch.
Ich kann das ganze umformen, dann sieht es so aus:

$\begin{eqnarray*} 4(a_1^2+a_2^2+a_3^2)-4(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)-3(b_1^2+b_2^2+b_3^2)=-4 \end{eqnarray*}$

01.11.2014, 17:29

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Vor mir aus dann so.
Andererseits, was soll ich jetzt noch sagen. Du hast schon alles richtig sortiert. Da steht im Wesentlichen die Länge von a bzw b (beides ist gegeben) und das gesuchte Skalarprodukt der beiden Vektoren. Also nur noch Einsetzen und Auflösen.

01.11.2014, 17:46

kausal

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Ich hab doch immer noch keine Elemente von den Vektoren. Ich weiß lediglich das die Länge der Vektoren 2 ist. Das auch nur weils von anfang an gegeben ist.
Ich verstehe nicht was ich einsetzen soll, da ich nichts zum einsetzen habe.

edit:
im besten fall kann ich noch sagen

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} = 2 \end{eqnarray*}$
daraus könnte man vielleicht schlussfolgern
das
$\begin{eqnarray*} 4(4) -4(a_1b_+a_2b_2+a_3b_3)-3(4)=-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -4(a_1b_+a_2b_2+a_3b_3)=-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a_1b_+a_2b_2+a_3b_3)=+2 \end{eqnarray*}$

01.11.2014, 17:55

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch selbst $\begin{eqnarray*} \vec{a} =(a_1,a_2,a_3) \end{eqnarray*}$ gesetzt. Wie ist dann die Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ?
Edit: Woher kommt die 36? Wenn du das korrigierst, bekommst du das richtige Skalarprodukt

01.11.2014, 17:59

kausal

Auf diesen Beitrag antworten »

Die 36 müsste natürlich wenn dann auch eine 4 sein.

Die Länge von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ muss 2 sein, das ist ja vorgegeben.

01.11.2014, 20:49

kausal

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist einfach, das ich nicht verstehe wie ich Anhand der Gleichung und der Information das die vektoren a und b eine Länge von 2 haben auf die Elemente der Vektoren komme.

01.11.2014, 22:01

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kommst gar nicht auf die Elemente der Vektoren. Du brauchst sie auch überhaupt nicht, um die Aufgabe zu lösen.

Abgesehen davon können die Vektoren auch nicht eindeutig bestimmt sein, denn geeignete Drehungen verändern weder die Länge noch das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

01.11.2014, 23:02

kausal

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, erklärt warum ich dazu auch nichts gefunden habe.

Wenn ich dann davon ausgehe, das ich damit $\begin{eqnarray*} (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)=+2 \end{eqnarray*}$ richtig lag. Das also somit das Skalarprodukt von a und b ist.

Kann ich sagen das der eingeschlossene Winkel :

$\begin{eqnarray*} \cos \gamma = \frac{2}{|2| \cdot |2|} = 0,5 =60° \end{eqnarray*}$

ist.

Wink

Wink

01.11.2014, 23:15

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen vom letzten Gleichheitszeichen ist das richtig.

02.11.2014, 00:14

kausal

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich.
Danke Wink

Wink

02.11.2014, 00:58

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektor aus Länge für Vektorgleichung
Das geht vollkommen ohne Komponenten:
$\begin{align*} a^2=b^2=4\land (2\vec{a} - 3\vec{b} ) \cdot (2\vec{a} + \vec{b} )= 4 a^2 -3 b^2 -4\vec a \vec b=-4\Rightarrow \vec a \vec b = 2 \end{align*}$

02.11.2014, 10:46

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektor aus Länge für Vektorgleichung
Das sagte ich auch schon. Aber wenn der Fragesteller partout auf Komponenten besteht geschockt

geschockt

02.11.2014, 12:44

kausal

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ich das nicht verstanden habe / verstehe Hammer

Hammer

Wink

02.11.2014, 13:35

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kausal
Weil ich das nicht verstanden habe / verstehe Hammer

Hammer

Distributivgesetz, gilt auch für Vektoren. Das Skalarprodukt ist außerdem kommutativ. Außerdem ist das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst gleich dem Quadrat seines Betrages/Länge.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »