Grenzwert Epsilontik

01.11.2014, 17:09	gg33jico	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Epsilontik Hallo, wir hatten eine Routineaufgabe in den Übungen bekommen: Bestimmen Sie zu Epsilon = 1/100 ein möglichst kleines n so dass gilt \| an-a\| < Epsilon für alle n $\begin{eqnarray} <br /> an = \frac{1}{n^{2}+1 } <br /> <br /> \end{eqnarray}$ mit dem Grenzwert a=0 Ich bin so an die Sache rangegangen: $\begin{eqnarray} <br /> \| \frac{1}{n^{2}+1 } -0\| < 1/100 <br /> <br /> <br /> nach Umformungen<br /> <br /> n<\sqrt{1-1/100} <br /> \end{eqnarray}$ Damit hätte ich ja ein n gefunden. ------------------------------ In den offiziellen Lösungen steht dann das: Gesucht ist ein N (Epsilon) für das gilt: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{N(Epsilon)^{2}+1 } < 1/100 <br /> \end{eqnarray}$ Da N(Epsilon) eine natürliche Zahl sein soll und damit insbesondere N(Epsilon) > 0 gilt, ist dies äquivalent zu $\begin{eqnarray} <br /> N(Epsilon) > \sqrt{99} <br /> \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} <br /> 9^{2} = 81 < 99 < 100 = 10^{2} <br /> \end{eqnarray}$ ist N(Epsilon) = 10 die kleinste solche natürliche Zahl. Ist n > N(Epsilon) eine beliebige größere natürliche Zahl, so gilt $\begin{eqnarray} <br /> an < \frac{1}{N(Epsilon)^{2}+1 } < 1/100 <br /> \end{eqnarray}$ Sind beide Lösungen irgendwie equivalent oder ist meine falsch? Ich verstehe die offizielle Lösung nicht. Warum muss man das Ganze so kompliziert machen?
01.11.2014, 17:13	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
wie bist du denn auf deine Umformung gekommen?
01.11.2014, 17:16	gg33jico	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt wo ich mich durch Latex gequält habe, verstehe ich die offizielle Lösung und das Defizit, welches meine Lösung hat.
01.11.2014, 17:17	gg33jico	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umformung ist ganz einfach, nur rechts und links den Kehrwert nehmen, dabei dreht sich das Ungleichzeichen um.
01.11.2014, 17:21	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
So kommt man aber nicht auf das von dir genannte $\begin{eqnarray} n<\sqrt{1-1/100} <br /> \end{eqnarray}$ sondern auf das, was in der Lösung steht
01.11.2014, 18:54	gg33jico	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, da habe ich mich irgendwie mit dem Vorzeichen vertan. Aber ich verstehe grad die ganze Lösung niccht. Ich dachte,man muss immer ein n < Epsilon finden und wenn es größer wäre, dann hätte das Ganze nicht funktioniert. Wie hängt das überhaut alles zusammen?
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01.11.2014, 19:01	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst bei vorgegebenen $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} \| \frac{1}{N^{2}(\epsilon) +1} \| < \epsilon \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} N(\epsilon) \end{eqnarray}$ auflösen
01.11.2014, 19:04	gg33jico	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm ich muss hier wohl noch einigen Lernaufwand reinstecken, ich dachte immer es reicht wenn ich zeige, dass es ein n gibt welches < einem Epsilon ist. Anscheinend gibt es Aufgabenstellungen, wo man anders an die Sache rangehen muss.

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