Schnecke - Gummiband

01.11.2014, 23:42

uwotm8

Schnecke - Gummiband

Hallo,

uns wurde aufgetragen die berüchtigte "Schnecke-Gummiband" Aufgabe zu lösen.
Nachdem es die Lösung bereits ~1000000 Mal im Internet gibt, braucht ihr euch auch nicht zurückhalten Big Laugh

Wer die Aufgabe noch nicht kennt:
- Eine Schnecke legt auf einem Gummiband pro Stunde 10cm zurück
- Jede Stunde wird das Gummiband um 1 Meter gedehnt
- Erreicht die Schnecke jemals das Ende des Gummibands (wenn Band undehnbar, Schnecke unsterblich etc.)

Nun mein Problem:
Ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, wie das mit dem Gummiband-Dehnen funktioniert. Wird es an beiden Enden gedehnt oder ist ein Ende "festgetackert" und es wird nur das andere Ende gezogen?

Wenn die Schnecke nach 1 Stunde 10cm zurückgelegt hat und das Band dann gedehnt wird hat sie dann nicht 20cm auf einem 2 Meter langen Band "Zurückgelegt"?
Nach einer weiteren Stunde ist sie dann bei 20+10=30cm. Nur wo ist sie jetzt auf dem Band nachdem es auf 3m gedehnt wird?

Meine Idee: Sie hat beim (in dieser Stunde) noch nicht gedehnten Band 30cm hinter sich und 170cm vor sich.
Das sind bei 2m 30/200 und 170/200. Diese Prozentzahlen verändern sich nicht, also ist sie nach dem Dehnen bei 30/200 * 300 = 45cm?

Nach einer weiteren Stunde ist sie dann:
- beim ungedehnten Band: 45+10=55cm
- beim gedehnten Band: 45/300 * 400 = 60cm

Aber da würde sie ja nur 15cm/h zurücklegen und das kann irgendwie nicht sein.

Ich verstehe die ganze Gummiband-Kiste nicht. Hab leider nirgendwo ein Bild oder so gefunden, das das ganze illustriert, irgendwie will das nicht in meinen Kopf Hammer

Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen? Willkommen

01.11.2014, 23:56

Dopap

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RE: Schnecke - Gummiband

Zitat:

Original von uwotm8

Wer die Aufgabe noch nicht kennt:
- Eine Schnecke legt auf einem Gummiband pro Stunde 10cm zurück
- Jede Stunde wird das Gummiband um 1 Meter gedehnt

das ist etwas dünn und wohl nicht hinreichend

02.11.2014, 00:31

uwotm8

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RE: Schnecke - Gummiband

Zitat:

Original von Dopap
das ist etwas dünn und wohl nicht hinreichend

"Eine Schnecke bewegt sich von links nach rechts auf einem Gummiband, das eine anfängliche Länge von 1m hat. Sie legt dabei 10 cm pro Stunde zurück. Jede Stunde wird das Gummiband außerdem um jeweils einen weiteren Meter gleichmäßig gedehnt.
Wird die Schnecke jemals das rechte Ende erreichen? Bitte geben Sie eine Begründung an."

Das ist die komplette Aufgabenstellung, sorry!

11.11.2014, 10:07

Hausmann

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Hübscher Evergreen! smile

Ein Gummiband $\begin{align*} [A;B] \end{align*}$ werde bei $\begin{align*} A \end{align*}$ festgehalten und mit konstanter Geschwindigkeit $\begin{align*} b \end{align*}$ (von B relativ zu A) gedehnt. Auf dem Band bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit $\begin{align*} s \end{align*}$ (relativ zum Band) eine Schnecke. Erreicht sie den Punkt B, wenn $\begin{align*} 0 < s < b \end{align*}$ gilt? ... Sei
$\begin{align*} x \end{align*}$ seit dem Start verstrichene Zeit
$\begin{align*} y(x) \end{align*}$ Position Schnecke und $\begin{align*} Y := y(0) \end{align*}$
$\begin{align*} l(x) \end{align*}$ Länge Band und $\begin{align*} L := l(0) \end{align*}$ , also $\begin{align*} l(x) = L + b x \end{align*}$

Schnecke gesamt $\begin{align*} y' =\frac{y}{l}\cdot b + s=\frac{by}{L+bx}+s\Rightarrow \end{align*}$
$\begin{align*} (L+bx)\cdot y'(x)=b\cdot y(x)+(L+b\cdot x)\cdot s\Rightarrow \end{align*}$ DGL für $\begin{align*} y(x) \end{align*}$
$\begin{align*} g(x)\cdot y'(x)=f_1(x)\cdot y(x)+f_0(x)\cdots \end{align*}$
$\begin{align*} y(x)=(L+bx)\cdot\left(\frac{Y}{L}+\frac{s}{b}\cdot \ln\left(1+\frac{bx}{L}\right) \right) \end{align*}$
Falls die Schnecke zur Zeit $\begin{align*} x^* \end{align*}$ das Bandende erreicht:
$\begin{align*} y(x^*)=L+bx\Rightarrow x^*=\frac{L}{b}\cdot \left( e^{\frac{b}{s}\cdot \left(1-\frac{Y}{L}\right)}-1\right) \end{align*}$
Wegen $\begin{align*} Y<L\Rightarrow x^*>0 \end{align*}$ erreicht die Schnecke das Ende.

Unser Beispiel
$\begin{align*} L = 1\ m,\ Y = 0\ m,\ s = 0{,}1\ \frac{m}{h},\ b=1\ \frac{m}{h}\Rightarrow \end{align*}$
$\begin{align*} x^*=1\ h\cdot \left(e^{10}-1\right)\approx 2{,}5\ a \end{align*}$

11.11.2014, 11:02

HAL 9000

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Da das Thema hier schon einige Male im Board diskutiert wurde, mache ich an der Stelle nur nochmal kurz auf unterschiedliche Interpretationen dieses Banddehnens aufmerksam:

1) Diskrete Variante: Das Band bleibt eine Stunde lang "ruhig" und wird dann in einem Moment um 1m gedehnt.

2) Stetige Variante: Das Band wird kontinuierlich gedehnt, in dem Fall hier mit 1m/h.

Hausmann hat die stetige Variante 2) besprochen (da kommt bei der DGL-Lösung der $\begin{align*} \ln \end{align*}$ rein), während man sich bei der diskreten Variante 1) dann mit harmonischen Summen plagen muss. Augenzwinkern

11.11.2014, 11:54

Hausmann

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OT & Danke für diesen Hinweis!

Diese Frage faszinierte mich schon zu Zeiten von Papier und Bleistiftt und ich hatte mich gefreut die alten Notizen nochmal auskramen zu dürfen; wie ich generell diesen Blog sehr anregend finde (soweit das Verständnis halt reicht).

Mit einem freundlichen Gruß in der Runde! :-)

11.11.2014, 12:03

HAL 9000

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Ich kenne die Problemstellung auch seit über 30 Jahren, hab sie damals zum ersten Mal in der Schülerzeitschrift alpha gesehen. Augenzwinkern

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Schnecke - Gummiband

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