Konvergenz bestimmen

02.11.2014, 12:25

moupep

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Konvergenz bestimmen

Ich bin neu hier im Forum, und weiß noch nicht so genau wie man die Brüche ordentlich aufschreibt. Werde ich versuchen aber in nächster Zeit zu lernen.

a) (-3n^2 + 1)/(5n^2 - 3)

b) (5n^4 + (-1)^n) / (-8n - 1)

Entscheide, ob die Folgen konvergent, divergent, bestimmt divergent gegen oo (unendlichzeichen), bestimmt divergent gegen -oo, unbestimmt divergent sind und begründe.

Bestimme für konvergente Folgen den Grenzwert.

Meine Fragen: 1. Ist divergent etwas anderes als bestimmt/unbestimmt divergent.
Div. bedeutet doch dass die Folge keinen festen Grenzwert hat, oder?

2. Wenn ich die Reihenfolge der Aufgabenstellung beachte, dann müsste ich doch erst Konvergenz/Divergenz bestimmen - wie funktioniert das?

3. Ich habe bei a) erst einmal den Bruch durch n^2 gekürzt dabei kam
(-3 + (1/n^2)) / (5 - (3/n^2)) heraus, ich sehe zwar, das die Einzelbrüche 0-Folgen sind und der Grenzwert dementsprechend -3/5 ist. Dennoch denke ich nicht, dass das ausführlich genug für meine Lösung ist.

Ich bin neu an der Uni, und die ganzen Beweise und Begründungen überfordern mich schon ein wenig.

02.11.2014, 12:32

bijektion

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Zitat:

1. Ist divergent etwas anderes als bestimmt/unbestimmt divergent.

Ja, bestimmte Divergenz ist ein Spezialfall von Divergenz.
Divergenz bedeutet, dass die Folge keinen Grenzwert besitzt, z.B. die Folge $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ .
Ist eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ bestimmt divergent gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , so schreibt man auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=\infty \end{eqnarray*}$ . Bestimmt divergent heißt in diesem Fall: $\begin{eqnarray*} \forall S>0 \exists n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sodass für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} a_n>S \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

2. Wenn ich die Reihenfolge der Aufgabenstellung beachte, dann müsste ich doch erst Konvergenz/Divergenz bestimmen - wie funktioniert das?

Habt ihr bereits die Grenzwertsätze?

3) Du könntest den Term $\begin{eqnarray*} |\frac{-3n^2+1}{5n^2-3}-\frac{-3}{5}| \end{eqnarray*}$ abschätzen und zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ bestimmen, sodass für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} |\frac{-3n^2+1}{5n^2-3}-\frac{-3}{5}|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

02.11.2014, 12:51

moupep

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Grenzwertsätze: Meinst du damit, dass ich den Grenzwert vom Zähler durch Grenzwert vom Nenner rechen soll?

Wie mache ich das genau mit dem abschätzen, nehme ich eine willkürliche Zahl (Bsp. 2) und setze sie für n ein? Oder versuche ich bestimmte Terme im Bruch pauschal wegzunehmen?

02.11.2014, 12:56

bijektion

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Zitat:

Grenzwertsätze: Meinst du damit, dass ich den Grenzwert vom Zähler durch Grenzwert vom Nenner rechen soll?

Ja, zum Beispiel.

Zum abschätzen: Erstmal bringst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

02.11.2014, 13:04

moupep

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Abschätzen:

|\frac{-3n^2+1}{5n^2-3}-\frac{-3}{5}|<\varepsilon

rechne ich durch (n^2 - 3)

kommt dann: [(-3n^2 + 1)/(5n^2 - 3) - ((-3/(n^2-3)) / (5n^2 - 3))]
heraus?

02.11.2014, 13:06

bijektion

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Was rechnest du?

Nutze zuerst $\begin{eqnarray*} |\frac{-3n^2+1}{5n^2-3}-\frac{-3}{5}|=|\frac{5-9}{5\cdot(5n^2-3)}| \end{eqnarray*}$ .

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02.11.2014, 13:11

moupep

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Du rechnest jetzt durch 5!?

Den Nenner kann ich nachvollziehen, den Zähler aber überhaupt nicht.

Wo ist das n^2; wie kommt die 9 zustande?

02.11.2014, 13:12

bijektion

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Zitat:

Erstmal bringst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

Nichts anderes ist hier passiert.

02.11.2014, 13:27

moupep

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Okay, ich denke ich weiß jetzt was du meinst, allerdings hab ich ein Problem mit dem erweitern, jedenfalls wie ich das rechen würde:

-3/5; wie wird das erweitert, muss ich mit *(n^2 - 3/5) rechnen?

Dann hätte ich allerdings beim zusammenfassen im Zähler: nur -4

02.11.2014, 13:30

bijektion

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Zitat:

Dann hätte ich allerdings beim zusammenfassen im Zähler: nur -4

Gut, $\begin{eqnarray*} -4=5-9 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.11.2014, 13:33

moupep

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Ja okay, jetzt sehe ich es auch, mich verwundert aber noch, warum du im Nenner noch die 5 als Faktor hast; ist das wirklich notwendig, ich hab ganz einfach die 5n^2 - 3 stehen.

02.11.2014, 13:38

bijektion

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Du kannst di $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ auch wegkürzen, das bringt aber nichts. Wenn du jetzt auch bei $\begin{eqnarray*} |\frac{-3n^2+1}{5n^2-3}-\frac{-3}{5}|=|\frac{5-9}{5\cdot(5n^2-3)}| \end{eqnarray*}$ angelangt bist, geht es weiter mit $\begin{eqnarray*} |\frac{-4}{5\cdot(5n^2-3)}|=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{5n^2-3}\leq\frac{4}{25}\cdot\frac{1}{(n-1)\cdot(n+1)} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ .

02.11.2014, 13:52

moupep

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Nein, ganz folgen kann ich dir nicht; du hast in deinem Zähler stehen 5-9;
ich allerdings 1-5

Danach dein Gleichungssystem kann ich leider auch nicht nachvollziehen, weil ich nicht weiß worauf du damit hinauswillst.

Soll das ein Grenzwert werden, ein Startindex, soll man daraus die Konvergenz ableiten können?

02.11.2014, 14:10

bijektion

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Zitat:

Danach dein Gleichungssystem kann ich leider auch nicht nachvollziehen, weil ich nicht weiß worauf du damit hinauswillst.

Welches Gleichungssystem?

Dann nochmal: $\begin{eqnarray*} |\frac{-3n^2+1}{5n^2-3}-\frac{-3}{5}|=|\frac{5\cdot (-3n^2+1)}{5\cdot (5n^2-3 )}-\frac{-3\cdot (5n^2-3)}{5\cdot (5n^2-3)}| \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Soll das ein Grenzwert werden, ein Startindex, soll man daraus die Konvergenz ableiten können?

Das soll der Beweis werden, das $\begin{eqnarray*} \frac{-3n^2+1}{5n^2-3}\to_{n\to\infty}\frac{-3}{5} \end{eqnarray*}$ .

02.11.2014, 14:17

moupep

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okay du hast auf der linken Seite mit 5 erweitert und auf der rechten mit (n^2 - 3).
Verstanden.

Wieso hast du eigentlich die -3/5 überhaupt genommen, denn das ist doch der Grenzwert, und wenn wir einen Grenzwert haben, dann ist die Folge doch automatisch konvergent!?

Okay, hast ja schon geschrieben.

War das denn ausreichend, dass ich bei der Grenzwertberechnung einfach nur rangeschrieben habe, dass die Teilbrüche 1/n^2 und 3/n^2 0-Folgen sind oder muss man das noch weiter erklären/beweisen?

02.11.2014, 14:36

bijektion

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Zitat:

Wieso hast du eigentlich die -3/5 überhaupt genommen, denn das ist doch der Grenzwert, und wenn wir einen Grenzwert haben, dann ist die Folge doch automatisch konvergent!?

Du wolltest doch einen Beweis haben und nicht nur den Grenzwert hinschreiben.

Zitat:

War das denn ausreichend, dass ich bei der Grenzwertberechnung einfach nur rangeschrieben habe, dass die Teilbrüche 1/n^2 und 3/n^2 0-Folgen sind oder muss man das noch weiter erklären/beweisen?

Je nachdem was ihr so für Grenzwertsätze kennt.

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