Ungleichung mit geometrischem Mittel lösen

02.11.2014, 13:12

Nadia.She

Ungleichung mit geometrischem Mittel lösen

Meine Frage:
Hey Leute,
Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie für x,y,z aus allen positiven reellen Zahlen mit 0
$\begin{eqnarray*} \left(x,y,z\right)^3\geq 27xyz \end{eqnarray*}$
Hinweis: Geometrisches Mittel

Meine Ideen:
Nun habe ich aus dem Buch entnommen, dass für beliebige a1,...,an aus dem positiven reellen Zahlenbereich mit 0 gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{1} +...+a_{n} }{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} ...a_{n} } \end{eqnarray*}$

Muss ich die Ungleichung jetzt einfach in die Formel einsetzen?

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3 + y^3 + z^3 }{3} \geq \sqrt[3]{27x*y*z } \end{eqnarray*}$
Wie mache ich weiter?
Danke!

02.11.2014, 13:15

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left(x,y,z\right)^3\geq 27xyz \end{eqnarray*}$

Was ist denn $\begin{eqnarray*} \left(x,y,z\right)^3 \end{eqnarray*}$ ?

02.11.2014, 14:02

Nadia.She

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Sorry! Ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} (x+y+z+)^3 \end{eqnarray*}$

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