Fourier reihe für stückweise definierte periodische funktion

02.11.2014, 16:27	Keq	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourier reihe für stückweise definierte periodische funktion Meine Frage: Ich habe ein bzw zwei Fragen zur Fourier reihen zw zur bestimmung der Komponenten Wenn ich eine stücke weise definierte Funktion habe wie zb $\begin{eqnarray} f(x)=x, 0\leq x\leq \pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)=2\pi -x,\pi \leq x\leq 2\pi \end{eqnarray}$ und nun die fourier koefizienbten bestimmen will nach dem schema $\begin{eqnarray} a_{n} =\frac{1}{\pi }\int_a^b \! f(x)cos(nx) \, dx \end{eqnarray}$ mit a=0 und b =2 $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ (bn lasse ichw eh da es 0 ist bei geraden funktionen). was setze ich für f(x) in dem integral ein? x oder 2 $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ -x? es kommt anscheined das selbe raus, aber ist das immer so? Meine Ideen:
02.11.2014, 17:50	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourier reihe für stückweise definierte periodische funktion Wie's da steht: von 0 bis pi ist es f(x)=x, von pi bis 2pi ist es die andere Funktion. Diese beiden Integrale werden dann addiert.
02.11.2014, 17:57	Keq	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourier reihe für stückweise definierte periodische funktion also die summe beider integrale und das ganze geteilt durch pi ergibt 4 pi, in der lösung heißt es allerdings a0 wäre pi....
02.11.2014, 18:25	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourier reihe für stückweise definierte periodische funktion Ich bekomme auch pi raus, wie hast Du gerechnet?
02.11.2014, 20:44	Keq	Auf diesen Beitrag antworten »
also nach meinem skript sind die koefizienten bei einer geraden funktion $\begin{eqnarray} a_{n} =\frac{2}{\pi } \int_0^\pi \! f(x)cos(nx) \, dx \end{eqnarray}$ jetz kann ich als f(x) einmal f(x)=x einsetzen und einmal $\begin{eqnarray} 2\pi -x \end{eqnarray}$ einsetzen beim ersten kommt pi raus, beim zweiten 3 pi, in summe also 4 pi $\begin{eqnarray} \frac{2}{\pi } \int_0^\pi \! x \, dx =\frac{2}{\pi }\frac{1}{2} x^{2} =\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2}{\pi } \int_0^\pi \!2\pi - x \, dx =\frac{2}{\pi }(2\pi x-\frac{1}{2} x^{2}) =\frac{2}{\pi }(2\pi ^{2} -\frac{1}{2}\pi ^{2}) =4\pi -\pi =3\pi \end{eqnarray*}$
02.11.2014, 20:51	Keq	Auf diesen Beitrag antworten »
ok hab den fehler, ich muss beim zweiten integral die grenzen ja verschieben so dass die funktion auch richtig definiert ist, dann kommt bei beiden pi raus aber die summe wäre dann trotzdem 2 pi und nicht pi
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02.11.2014, 21:39	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du diese Formel benutzt, brauchst Du die Funktion nur bis pi zu betrachten. Denn durch die Spiegelung ergibt sich die richtige Dreiecksfunktion automatisch. Siehst Du das? Dann verschwindet auch der Faktor 2 von alleine. Oder Du nimmst die andere Formel und dividierst durch die korrekte Periode, also 2pi.
02.11.2014, 21:56	Keq	Auf diesen Beitrag antworten »
ja mir ist aufgefallen, dass sich selbst die richtige Funktion ergibt, selbst wenn ich Definition der 2ten Hälfte der Periode garnicht mit in die Rechnung einbeziehe, habe nur nicht daran gedacht, dass das schon in der betrachtung als gerade Funktion eingeschlossen ist... wenn ich die allgemeine formel verwende mit 1/pi anstatt 2/pi und das interall als summe von 2 integralen jeweils von 0-pi und pi-2pi betrachte mit der jeweiliegn definition der funktion in den intervallen kommt auch das selbe raus, vielen dank

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