Satz anwenden-Henselsches Lemma

02.11.2014, 18:26	evinda	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz anwenden-Henselsches Lemma Hallo Wir wollen die Gleichung $\begin{eqnarray} f=x^4+8x^3-6x^2+16x-16 \equiv 0 \pmod{50} \end{eqnarray}$ lösen. Betrachten wir diese Gleichung modulo 2, also $\begin{eqnarray} x^4 \equiv 0 \pmod{2} \end{eqnarray}$ , dies hat nur die Lösung $\begin{eqnarray} x_1 \equiv 0 \pmod{2} \end{eqnarray}$ . Modulo 5, hhaben wir das Polynom $\begin{eqnarray} x^4+3x^3+4x^2+x+4 \end{eqnarray}$ . Wir finden, dass $\begin{eqnarray} x_2 \equiv 3 \pmod 5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \equiv 4 \pmod{5} \end{eqnarray}$ die Lösungen von f modulo 5 sind. Es gilt, $\begin{eqnarray} f'(3) \equiv 4 \pmod 5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f'(4) \equiv 3 \pmod 5 \end{eqnarray}$ . Danach benutzt man den folgenden Satz: Sei $\begin{eqnarray} f \in \mathbb{Z}_p[X] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \widetilde{x} \in \mathbb{Z}_p \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(\widetilde{x} ) \equiv 0 \pmod{p^k} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} l \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} l \leq k \end{eqnarray}$ . Dann gilt für $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(\widetilde{x}+ap^k) \equiv 0 \pmod{p^{k+l}} \Rightarrow f'(\widetilde{x})a \equiv \frac{-f(\widetilde{x})}{p^k} \pmod{p^l} \end{eqnarray}$ Aber, immer wenn man diesen Satz anwenden bekommt man nicht: $\begin{eqnarray} f'(\widetilde{x})a \equiv 0 \pmod{p^l} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} f(\widetilde{x}) \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} 0 \pmod{p^k} \end{eqnarray}$ ist? Oder habe ich es falsch verstanden?
03.11.2014, 08:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man teilt doch nochmal durch $\begin{align} p^k \end{align}$ . Wenn man davon ausgeht (was man ohne Weiteres tun kann, da nach oben ja keine Restriktion an k gesetzt wurde), dass k maximal war, ist $\begin{align} \frac{-f(x)}{p^k} \end{align}$ also sogar teilerfremd zu $\begin{align} p \end{align}$ . Übrigens: Ist dir bewusst, dass das einfach nur das Newton-Verfahren ist? Das Henselsche Lemma ist eigentlich nochmal eine andere Aussage.

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