Sigma-Algebra von Borelmengen |
| 03.11.2014, 00:26 | PMR-92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Sigma-Algebra von Borelmengen Ich habe die drei Aufgaben zu lösen, a/b/c (siehe Bild). [attach]35930[/attach] Meine Ideen: Ich weiß, was eine Sigma-Algebra allgemein ist. Die leere Menge muss enthalten sein, die Komplimente der Elemente muss enthalten sein und sämtliche endlichen Vereinigungen müssen in ihr enthalten sein. Ich kenne das aber eigentlich nur aus der Stochastik mit Mengen, nicht aber mit Intervallen. Zudem verstehe ich nicht, was (0,1) jetzt konkret bedeutet. Heißt es, dass ich irgendeine reelle Zahl zwischen 0 und 1 darin finde ohne die 0 und 1 selbst? Was wäre das Komlement dazu? Beim Durchstöbern des Internets kam ich auf Borelmengen, habe sie bis dato aber noch nicht so ganz verstanden (soll angeblich einfach sein). Und was bedeutet bei (c) eine A0-A0-messbare Abbildung bzw. eine A1-A0-messbare Abbildung? |
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| 03.11.2014, 09:51 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kennzeichnet das offene Intervall von 0 bis 1, d.h. ohne beide Randpunkte 0 und 1. Möglicherweise bist du eher die andere, auch übliche Notation gewohnt.
Das solltest du eigentlich wissen, wenn du den Begriff der Messbarkeit kennengelernt hast: Der ist schon definitionsgemäß mit diesen zwei Sigma-Algebren (die erste bezogen auf den Definitionsbereich, die zweite auf den Bildbereich) der Abbildung verbunden. |
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| 04.11.2014, 18:15 | PMR-92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, mein problem war zunächst, ob es sich überhaupt um ein Intervall handelt, oder um ein Tupel zweier reeller Zahlen (Potenzmenge von IR hat mich etwas verwirrt). Also bezeichnet (0,1) beispielsweise die Menge aller reeller Zahlen zwischen 0 und 1 ohne jeweils den Rand. Wenn ich mir jetzt die Axiome für die Sigma-Algebra anschaue, muss die leere Menge enthalten sein - gut, die kann ich einfach hinschreiben. Wie schaut es bei den Komplementen aus? Das Komplement zu (0,1) wäre ja jede reelle Zahl r, die in (-a,0] oder [1,a) liegt mit a aus P(IR) -> unendlich. Wie schreibe ich das aber formal korrekt auf? Kann ich das Komplement "in eins" schreiben und nicht durch zwei Intervalle ausdrücken? Und muss das gesamte P(IR) nicht dann auch in der Sigma-Algebra liegen? Als drittes müssten ja alle endlichen Vereeinigungen in der Sigma-Algebra enthalten sein, wäre nicht aber die Vereeinigung (0,1) u (0,2) eben genau (0,2)? Bzgl. der Messbarkeit habe ich leider bis dato nichts gehört (muss die Aufgabe (und eine andere) als Ersatzleistung für 'nen verloren gegangenen Übungszettel im vergangenen Semester erledigen und habe entsprechend nur Analysis2 gehört, das Thema finde ich aber nur in Analysis3-Skripten. Werde mich aber bzgl. der Messbarkeit aber nochmal schlaulesen und ggf. nachfragen. Danke schonmal für die Antwort, dann ist mir die Notation zumindest nun klar geworden! |
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| 04.11.2014, 18:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht meinst du ja das richtige, aber so formuliert muss man das schlicht als falsch bezeichnen: Das Komplement von ist nicht irgendeine reelle Zahl, sondern eine Menge reeller Zahlen, konkret als Intervallvereinigung geschrieben: Was du da geschrieben hast ist - entschuldige die Offenheit - ziemliches Geschwurbel. |
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| 04.11.2014, 18:47 | PMR-92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, ok gut. Dann hab ich das zumindest verstanden. Entschuldige, muss mich mal in Latex bzw. in das formale Abtippen hineinfuchsen. Die Vereinigung zweier Intervalle ist natürlich naheliegend. Danke für die schnelle Antwort! Ich schreibe ggf. später noch einmal in das Thema hier, wenn ich an der Messbarkeit scheitern sollte. |
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