Beschränktheit, Abgeschlossenheit

03.11.2014, 02:30

mathNewton

Beschränktheit, Abgeschlossenheit

Seien n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , g: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine stetige Abbildung und M = {x $\begin{eqnarray*} \in\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} g(x) \leq \end{eqnarray*}$ 0}.

Man soll zeigen, dass diese Menge abgeschlossen ist, aber nicht beschränkt.
D.h. wir bilden jedes x so ab, dass es wieder kleiner gleich 0 ist, also sprich für jedes x ist $\begin{eqnarray*} g(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$ . Damit ist der Grenzwertt $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ für eine bel. konvergente Folge.

Die Nicht-Beschränktheit kann man mit der linearen Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = x \end{eqnarray*}$ zeigen. Also M = {x $\begin{eqnarray*} \in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ | x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0}. Die lineare Funktion ist offensichtlich nicht beschränkt, aber warum ist diese Menge abgeschlossen?

Die Funktion g(x) = x wächst ins unendliche. D.h. der $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty \end{eqnarray*}$ . Wie also kann die Menge abgeschlossen sein? Für x = 1 ist g(1) = 1 $\begin{eqnarray*} \not\in M \end{eqnarray*}$ . Somit wäre die Menge doch nicht abgeschlossen. Etwas nicht?

VG mathNewton

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

03.11.2014, 10:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathNewton
Man soll zeigen, dass diese Menge abgeschlossen ist, aber nicht beschränkt.

Ziemlich missverständlich formuliert: Für konkretes $\begin{align*} g \end{align*}$ kann $\begin{align*} M \end{align*}$ sehr wohl beschränkt sein. unglücklich

P.S: Die Menge $\begin{align*} M = \left\{ x\in\mathbb{R}:\; x\leq 0 \right\} = (-\infty,0] \end{align*}$ ist abgeschlossen!

Zitat:

Original von mathNewton
Die Funktion g(x) = x wächst ins unendliche. D.h. der $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty \end{eqnarray*}$ . Wie also kann die Menge abgeschlossen sein? Für x = 1 ist g(1) = 1 $\begin{eqnarray*} \not\in M \end{eqnarray*}$ . Somit wäre die Menge doch nicht abgeschlossen.

Unfug: Wieso soll Abgeschlossenheit denn $\begin{align*} g(1)\in M \end{align*}$ erfordern? unglücklich

Abgeschlossen ist hier gleichbedeutend mit folgenabgeschlossen, d.h. für jede konvergente Folge $\begin{align*} (x_n) \end{align*}$ mit $\begin{align*} x_n\in M \end{align*}$ muss $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} x_n \in M \end{align*}$ gelten. Wenn du behauptest, dass $\begin{align*} M=(-\infty,0] \end{align*}$ nicht abgeschlossen in $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ ist, dann findest du ja sicher eine Gegenbeispiel-Folge, oder?

03.11.2014, 12:19

mathNewton

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Ich sollte dies an der Stelle korrigieren.
Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen, und zwar im ersten Teil soll die Abgeschlossenheit gezeigt werden.

Im zweiten Teil soll man zeigen, dass die Menge nicht beschränkt sein muss. D.h. sie kann muss aber nicht.

Ich verstehe folgendes nicht. Der Grenzwert der linearen Funktion ist unendlich. Du sagst nun, man müsse eine konvergente Folge aus M = {x $\begin{eqnarray*} \in\mathbb R \end{eqnarray*}$ | x $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ } finden mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ .
Und genau das ist mir nicht klar bzw. es ist für mich nicht ersichtlich.

Könntest du mir genau dies erklären? Denn im Moment verstehe ich es nicht.

VG
mathNewton

03.11.2014, 13:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathNewton
Du sagst nun, man müsse eine konvergente Folge aus M = {x $\begin{eqnarray*} \in\mathbb R \end{eqnarray*}$ | x $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ } finden mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Das sage ich nicht. unglücklich

Willkürlich ein paar Satzfetzen rausangeln und logisch völlig anders einbauen ist Zitatfälschung.

03.11.2014, 13:43

mathNewton

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Zitat:

Original von HAL 9000
Abgeschlossen ist hier gleichbedeutend mit folgenabgeschlossen, d.h. für jede konvergente Folge $\begin{align*} (x_n) \end{align*}$ mit $\begin{align*} x_n\in M \end{align*}$ muss $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} x_n \in M \end{align*}$ gelten. Wenn du behauptest, dass $\begin{align*} M=(-\infty,0] \end{align*}$ nicht abgeschlossen in $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ ist, dann findest du ja sicher eine Gegenbeispiel-Folge, oder?

Sagst du hier etwa nicht, dass die konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (x_{n}) \end{eqnarray*}$ aus M sein muss? Und der Grenzwert dieser Folge muss ja auch in M sein. Hast du nicht genau das gemeint?

Könntest du das ganze mal an einem Stück erklären? Das wäre sehr hilfreich.

Gruß mathNewton

03.11.2014, 18:19

HAL 9000

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Ich hab gesagt, dass eine abgeschlossene Menge $\begin{align*} M \end{align*}$ folgende Eigenschaft erfüllen muss:

Wenn wir eine beliebige (in $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ ) konvergente Folge $\begin{align*} (x_n) \end{align*}$ haben, deren Glieder sämtlich in $\begin{align*} M \end{align*}$ liegen, dann muss deren Grenzwert auch in $\begin{align*} M \end{align*}$ liegen.

Was du aus dieser Aussage gemacht ist, ist logisch in höchstem Maße verdreht:

Zitat:

Also nur eine Folge finden, für die das gilt - während ich gesagt habe, dass das für alle solche Folgen gelten muss!!! Ein essentieller Unterschied, denn nach deiner verdrehten Auffassung wäre jede nichtleere Menge der reellen Zahlen abgeschlossen: Man müsste dann nur eine konstante Folge wählen. unglücklich

Und meine beiden Nachfragen hast du auch nicht beantwortet:

1) Warum soll g(1) in M liegen?

2) Gib für unser M hier eine Folge an, die dieser eben nochmal diskutierten Eigenschaft der Folgenabgeschlossenheit widerspricht.

03.11.2014, 22:14

mathNewton

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Zu 1): Ich habe M so interpretiert, dass es alle x enthält für die gilt $\begin{eqnarray*} g(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$ . D.h. ich habe das ganze auch als eine lineare Funktion betrachtet.
Meine Verwirrung kommt deshalb, weil die Menge M die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} g(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$ hat. Da eine lineare Funktion wieder auf sich selbst abbildet und wir g gerade so gewählt haben, bin ich deshalb auf die Idee mit g(1) gekommen.

Bevor ich zu 2) was sage, was genau ist in dieser Menge g(x)?

04.11.2014, 07:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathNewton
Bevor ich zu 2) was sage, was genau ist in dieser Menge g(x)?

Was sollen diese ständigen, völlig nutzlosen Ablenkungen? Du bist doch mit dem Beispiel g(x)=x gekommen, und es ist längst geklärt, dass wir hier konkret über dieses M sprechen:

Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn du behauptest, dass $\begin{align*} M=(-\infty,0] \end{align*}$ nicht abgeschlossen in $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ ist, dann findest du ja sicher eine Gegenbeispiel-Folge, oder?

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