Doppelintegral e-Funktion

03.11.2014, 12:03

Bodo85

Doppelintegral e-Funktion

Guten Tag zusammen,

ich hänge gerade an einem Doppelintegral..
Ich verstehe den Weg nicht wie man folgendes Integral löst.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^{x^{2}} \! 2xe^y \, dxdy<br /> <br /> =\int_0^1 \left[2xe^y\right]_{0}^{{x^{2}}} dy<br /> <br /> =\int_0^1 \! 2xe^{x^2} \, dy \end{eqnarray*}$

Nun würde ich den Term folgendermaßen integrieren....

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{2x^2}{2}e^{x^2}\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

Laut Integralrechner.de kommt dann aber
$\begin{eqnarray*} \left[e^{x^2}\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$
raus.

wenn ich die "1" für die Grenze eingesetzt hätte würde ich es verstehen.. aber so... gut, wenn ich
$\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ differenzieren wollte, dann würde jetzt $\begin{eqnarray*} 2xe^{x^2} \end{eqnarray*}$ herauskommen... trotzdem ist mir der Weg um den Term zu integrieren nicht klar.

Vielleicht kann einer von euch Licht ins dunkle bringen?

Besten Gruß

03.11.2014, 12:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bodo85
Nun würde ich den Term folgendermaßen integrieren....

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{2x^2}{2}e^{x^2}\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

Und mit welcher Begründung würdest du das so tun ? verwirrt

Für den anderen Weg gibt es jedenfalls die Begründung Substitution $\begin{align*} u=x^2 \end{align*}$ .

03.11.2014, 12:31

trara

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RE: Doppelintegral e-Funktion
Hallo
schon dein erstes = ist falsch, wenn du über x integrierst hast du noch im Integral $\begin{eqnarray*} x^4*e^y \end{eqnarray*}$
wie kommst du auf deine Formel, wenn du über x integrierst wird doch für y nichts eingesetzt, aber mir scheinen deine Grenzen anfangs falsch, soll das innere Integral bis y^2 gehen, dann ist das Ergebnisi $\begin{eqnarray*} y^4*e^{y^2 } \end{eqnarray*}$ für das innere Integral.
Gruß trara

03.11.2014, 12:49

HAL 9000

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Oh ja, da war ich ziemlich unaufmerksam in der Kontrolle. Ich hatte wohl indirekt

$\begin{align*} \int\limits_0^1 \int\limits_0^{x^2} 2xe^y ~ \dd y ~ \dd y = \int\limits_0^1 \left[2xe^y\right]_{y=0}^{x^2} ~ \dd x = \int\limits_0^1 2xe^{x^2} ~ \dd x \end{align*}$

gelesen - aber auch da ist das zweite = falsch. Augenzwinkern

03.11.2014, 18:19

Bodo85

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Sorry, dass war ein Schreibfehler, ich integriere natürlich erst über dy...
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^{x^{2}} \! 2xe^y \, dydx = \int_0^1 \left[2xe^y\right]_{0}^{{x^{2}}} dx \end{eqnarray*}$

Dann setze ich ein...oder nicht?
Der Teil muss ja bis hier her richtig sein. Ich integriere nun ja nach y.
Wenn ich aber nun nach x integriere... verstehe ich nicht wie man auf
$\begin{eqnarray*} x^4*e^{x^2} \end{eqnarray*}$ kommen soll.

Warum ist $\begin{eqnarray*} \left[\frac{2x^2}{2}e^{x^2}\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$ dann falsch?
Irgendwie stehe ich mit beiden Beinen ganz fest auf dem Schlauch...

03.11.2014, 18:23

HAL 9000

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$\begin{align*} \int\limits_0^1 \int\limits_0^{x^2} 2xe^y ~ \dd y ~ \dd y ~{\color{blue}=}~ \int\limits_0^1 \left[2xe^y\right]_{y=0}^{x^2} ~ \dd x ~{\color{red}=}~ \int\limits_0^1 2xe^{x^2} ~ \dd x \end{align*}$

Ich hab gesagt, dass das zweite = falsch ist - das erste ist noch richtig. Forum Kloppe

Kleiner Tipp: $\begin{align*} e^0 \neq 0 \end{align*}$

Zitat:

Original von Bodo85
Warum ist $\begin{eqnarray*} \left[\frac{2x^2}{2}e^{x^2}\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$ dann falsch?

Differenziere doch mal zur Kontrolle.

03.11.2014, 21:29

Bodo85

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Das ist es ja..

es müsste $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ rauskommen.
Vielleicht sollte ich mal eine Nacht drüber schlafen.
Das integrieren macht für mich aber keinen Sinn. Das dass o.g. Ergebnis richtig sein muss ist mir klar.
Wenn ich $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ differenziere kommt $\begin{eqnarray*} 2xe^{x^2} \end{eqnarray*}$ raus!

03.11.2014, 22:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bodo85
Das ist es ja..

es müsste $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Da es nicht herauskommt, ist dein Integral falsch - mehr gibt's dazu eigentlich nicht zu sagen.

Höchstens das: Anscheinend hast du versucht, das Produkt $\begin{align*} 2x \cdot e^{x^2} \end{align*}$ getrennt nach Faktoren zu integrieren (den zweiten Faktor dann auch noch falsch). Diese "Regel" verbanne mal ganz schnell aus deinem Gedächtnis, das ist so ziemlich der größte Unsinn, den ich an Integrationsversuchen jemals gesehen habe - und das will was heißen, solange ich schon im Board bin.

Außerdem habe ich ja schon lange gesagt, wie man auf die richtige Spur kommt

Zitat:

Original von HAL 9000
Für den anderen Weg gibt es jedenfalls die Begründung Substitution $\begin{align*} u=x^2 \end{align*}$ .

, aber das hast du ja geflissentlich ignoriert, und kramst dafür immer und immer wieder deinen Unsinn hervor. unglücklich

P.S.: Der andere Fehler vorher (das =) scheint dich irgendwie nicht zu interessieren, seltsam. verwirrt

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