Substitution - wann anwenden |
| 17.08.2004, 19:17 | Remington Steele | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Substitution - wann anwenden habe hier ein (wohl relativ simples) Integral: Integral von 0 bis Wurzel Pi von x * sin(x hoch 2) dx Habe auch die Lösungen, aber ich frage mich, woran mann erkennt, daß man Substitution anwenden muß? 
Und nur 'mal angenommen, man würde Substitution hier nicht anwenden, wie müßte man dann mit dem Produkt umgehen (uv - Formel oder so? Oder ist genau das Produkt das, was einen zur Substitution zwingt?) Thx... Stefan |
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| 17.08.2004, 19:57 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zunächst einmal die große Enttäuschung: Es gibt keine allgemein gültige Regel, um Produkte oder Quotienten unbestimmt zu integrieren. Wenn ich im Folgenden Integral sage, meine ich immer unbestimmtes Integral, also das Bestimmen einer Stammfunktion. Der Normalfall ist, daß Produkte und Quotienten nicht elementar integrierbar sind. (Spezialisten geben gewissen dieser Integrale einfach neue Namen, wodurch das Problem jedoch nur einen Namen hat, aber nicht im klassischen Sinne gelöst ist. Philipp-ER ist Spezialist für solche Funktionen.) Nur in Sonderfällen kann man solche Integrale daher berechnen. Eine Substitution liegt immer dann nahe, wenn der Integrand ein Produkt ist, wo der eine Faktor mehr oder weniger die Ableitung der inneren Funktion des anderen Faktors ist. (Es gibt auch noch Substitutionen für Fortgeschrittene, wo man Integrale scheinbar verkompliziert, sich dann aber im verkomplizierten Integral Zusammenhänge wie sin²x+cos²x=1 oder cosh²x-sinh²x=1 zunutze macht. Aber davon sehe ich jetzt erst einmal ab.) Am besten macht man sich das durch Ableiten klar: (Kettenregel!) Wenn man das jetzt umgekehrt liest, heißt das: Du siehst, der Integrand ist ein Produkt aus zwei Faktoren. Der eine Faktor (2x) ist die Ableitung der inneren Funktion (x²) des zweiten Faktors cos(...). Und nach dieser Methode funktionieren die einfachen Substitutionen. Noch ein Beispiel zum Schluß: Man berechne Der erste Faktor (x) ist fast die Ableitung der inneren Funktion (1+x²) des zweiten Faktors 1/(...)²: Man kann ja bei Integralen konstante Faktoren vors Integral ziehen. Deswegen kann man sich das Integral hier zurecht-manipulieren: Jetzt ist der erste Faktor exakt die Ableitung der inneren Funktion des zweiten Faktors. Versuch einmal alleine, die Stammfunktion zu erraten. (Glaub mir, das ist tausendmal besser, als formal zu substituieren. Du lernst nämlich mehr dabei.) |
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| 17.08.2004, 21:40 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ansonsten sehr schöne Erklärung :] Nach Analysis verschoben |
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| 22.08.2004, 07:44 | Speed Demon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Danke Sorry für die verspätete Antwort... vielen Dank für die schnelle Hilfe Leopold... :]. |
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| 22.08.2004, 11:09 | Trazom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hilft nur Übung: Hier mal ein paar echt schwere für Leute mit viel Zeit: |
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| 01.10.2004, 17:02 | Remington Steele | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke - gibt's da auch eine Lösung zu? 
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| 01.10.2004, 17:10 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich hab bis auf Teil A: 23 d), 24 Teil B: 16 alle gelöst. Wenn du grad bei einem bist und nich weiterkommst, kannst du ja hier nen neuen Thread dazu machen und dann können wir (ich wahrscheinlich auch) dir helfen. Obwohl, ich hätte auch gern Stammfunktionen zu den obigen Aufgaben. :P |
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